■eやπに収束する分数列(その49)

p2k-3=p2k-5+2p2k-4

p2k-2=−p2k-4+(2k−1)p2k-3

p2k-1=p2k-3+2p2k-2

p2k=−p2k-2+(2k+1)p2k-1

p2k-1+2p2k=p2k-3+2p2k-2−2p2k-2+2(2k+1)p2k-1

=p2k-3+2(2k+1)p2k-1

 これが

  Pk=AkPk-2+BkPk-1

の形になればよいのであるが,

  Pk=p2k-1+2p2k

とおくと

  Pk-1=p2k-3+2p2k-2

  Pk-2=p2k-5+2p2k-4

===================================

 ここで,事態は急転.

  e=1//1−1//1+Φ(1//2−1//(2k+1))

はよいのであるが,

  e=1//1+1//2+1//6+1//10+1//14+・・・

=1//1+Φ1//(4k−2))+・・・

は誤り(誤植)であることが判明した.この連分数の極限値は1より小さいので,eに成るはずがないのである.

 正しくは,(その22)で考察したように

  (e+1)/2e=1//1+1//2+1//6+1//10+1//14+・・・

=1//1+Φ1//(4k−2))+・・・

となる.この右辺は大変よい(収束が速い)連分数なので,その極限値αから  e=1/(2α−1)

と計算するのが有用である.

===================================