【１】ｅ＋πに収束する級数

　有理関数係数の線形な漸化式

　　ｃ0＝５，ｃ1＝−１／３

　　ｃn＝−（２ｎ−１）（２ｎ^3−５ｎ^2＋ｎ−１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-1＋（２ｎ−３）（２ｎ^2＋ｎ＋１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-2

　このとき，ｓn＝Σｃnは

ｓ2＝５．９６６６７

ｓ3＝５．５６１９

ｓ4＝６．０４８０２

ｓ5＝５．６９２７１

ｓ6＝６．００１７９

ｓ7＝５．７３５３３

ｓ8＝５．９７０６５

ｓ9＝５．７６０１２

ｓ10＝５．９５０６

ｓ10000＝５．８５９９７

　最終的には

　　ｅ＋π＝５．８５９８７・・・

に収束する．

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　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−・・・＝Σ（−１）^n／（２ｎ＋１）

　　ｅ＝１＋１／１！＋１／２！＋１／３！＋１／４！＋１／５！＋・・・＝Σ１／ｎ！

　　ａn＝α／ｎ！，ｂn＝（−１）β／（２ｎ＋１）

　　ｃn＝ａn＋ｂnとおくと

　　ａn-1＝ｎａn，ｂn-1＝−（２ｎ＋１）／（２ｎ−１）・ｂn

　　ｃn＝ａn＋ｂn

　　ｃn-1＝ａn-1＋ｂn-1＝ｎａn−（２ｎ＋１）／（２ｎ−１）・ｂn

　　ｃn-2＝ａn-2＋ｂn-2＝ｎ（ｎ−１）ａn＋（２ｎ＋１）／（２ｎ−３）・ｂn

　３式より，ａn，ｂnを消去すると

　　ｃn＝−（２ｎ−１）（２ｎ^3−５ｎ^2＋ｎ−１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-1＋（２ｎ−３）（２ｎ^2＋ｎ＋１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-2

　　α＝１，β＝４のとき，Σａn＝ｅ，Σｂn＝π

　　Σｃn＝ｅ＋π

　［参］吉永正彦「周期と実数の０認識問題」数学書房

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