■eやπに収束する分数列(その40)
(その36)について書き直し.
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ak=(2k−1)^2,bk=2
p-1=1,p0=0,pk=akpk-2+bkpk-1=(2k−1)^2pk-2+2pk-1
q-1=0,q0=1,qk=akqk-2+bkqk-1=(2k−1)^2qk-2+2qk-1
(k=1,2,・・・)
p-1=1,p0=0,p1=1,p2=2,p3=29,p4=156,p5=2661,・・・
q-1=0,q0=1,q1=2,q2=13,q3=76,q4=789,q5=7734,・・・
ここで,Pk=pk+qk,Qk=qkとおくと,
Pk=(2k−1)^2Pk-2+2Pk-1
Qk=(2k−1)^2Qk-2+2Qk-1
P-1=1,P0=1,P1=3,P2=15,P3=105,P4=945,P5=10395,・・・
Q-1=−1,Q0=1,Q1=2,Q2=13,Q3=76,Q4=789,Q5=7734,・・・
n=k−1,k=n+1とおくと,
Pn+1=(2n+1)^2Pn-1+2Pn
Qn+1=(2n+1)^2Qn-1+2Qn
P0=1,P1=1,P2=3,P3=15,P4=105,P5=945,P6=10395,・・・
Q0=−1,Q1=1,Q2=2,Q3=13,Q4=76,Q5=789,Q6=7734,・・・
4Qn/Pn→ π
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