■eやπに収束する分数列(その39)
(その35)について書き直し.
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ak=k^2,bk=2k+1
p-1=1,p0=0,pk=akpk-2+bkpk-1=k^2pk-2+(2k+1)pk-1
q-1=0,q0=1,qk=akqk-2+bkqk-1=k^2qk-2+(2k+1)qk-1
(k=1,2,・・・)
p-1=1,p0=0,p1=1,p2=5,p3=44,p4=476,p5=6336,・・・
q-1=0,q0=1,q1=3,q2=19,q3=160,q4=1744,q5=23184,・・・
ここで,Pk=pk+qk,Qk=qkとおくと,
Pk=k^2Pk-2+(2k+1)Pk-1
Qk=k^2Qk-2+(2k+1)Qk-1
P-1=1,P0=1,P1=4,P2=24,P3=204,P4=2220,P5=29520,・・・
Q-1=0,Q0=1,Q1=3,Q2=19,Q3=160,Q4=1744,Q5=23184,・・・
n=k−1,k=n+1とおくと,
Pn+1=(n+1)^2Pn-1+(2n+3)Pn
Qn+1=(n+1)^2Qn-1+(2n+3)Qn
P0=1,P1=1,P2=4,P3=24,P4=204,P5=2220,P6=29520,・・・
Q0=0,Q1=1,Q2=3,Q3=19,Q4=160,Q5=1744,Q6=23184,・・・
4Qn/Pn→ π
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