【１】有名なオイラーの証明

　オイラーの証明は，Σ（１／ｐ）＝∞，すなわち，素数が無限にあることを

　　ζ（1）＝１／１ ＋１／２ ＋１／３ ＋１／４ ＋・・・＝∞

であることを用いて証明したものでしたが，

　　ζ（2）＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・＝π^2 ／６

が無理数であることを用いても，素数が無限にあることを簡単に証明することができます．

（証）ζ（2）＝Σ１／ｎ^2＝Π（１−ｐ^(-2)）^(-1)において，素数が有限個とすれば，ζ（2）は有限個の（１−ｐ^(-2)）^(-1)の積となり，有理数となる．

　同様に，ζ（3）が無理数であれば素数は無限にあることがいえます．しかし，この逆，すなわち，素数が無限にあるからといってζ（3）は無理数であるとはいえないのです．

　ところで，オイラーはいろいろな工夫をして，

　　log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ，広義積分

　　∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています．また，これを代入して計算すれば

　　1/1^3+1/3^3+1/5^3+･･･=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

　　ζ（3）＝2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

が得られます（１７７２年）．

　このとき，

　　１＋１／３^3＋１／５^3＋１／７^3＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（3）＝Σ１／ｎ^3 から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^3＋１／３^3＋１／４^3＋・・・

　＝（１＋１／２^3＋１／４^3＋・・・）（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

　＝１／（１−１／８）・（１＋１／３^3＋１／５^3＋・・・）

より，分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

　さらに，

　　１／１^s−１／２^s＋１／３^s−１／４^s＋・・・

　＝２（１／１^s＋１／３^s＋１／５^s＋１／７^s＋・・・）−（１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・）

より，＋，−が交互に出現すると一般式

　　{1-2^(1ｰs)}ζ（ｓ）

を得ることができます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝