■eやπに収束する分数列(その21)

【1】有名なオイラーの証明

 オイラーの証明は,Σ(1/p)=∞,すなわち,素数が無限にあることを

  ζ(1)=1/1 +1/2 +1/3 +1/4 +・・・=∞

であることを用いて証明したものでしたが,

  ζ(2)=1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+・・・=π^2 /6

が無理数であることを用いても,素数が無限にあることを簡単に証明することができます.

(証)ζ(2)=Σ1/n^2=Π(1−p^(-2))^(-1)において,素数が有限個とすれば,ζ(2)は有限個の(1−p^(-2))^(-1)の積となり,有理数となる.

 同様に,ζ(3)が無理数であれば素数は無限にあることがいえます.しかし,この逆,すなわち,素数が無限にあるからといってζ(3)は無理数であるとはいえないのです.

 ところで,オイラーはいろいろな工夫をして,

  log(sinx)=-Σcos(2nx)/n-log2

であることをつきとめ,広義積分

  ∫(0,π/2)log(sinx)dx=-π/2log2

の値を求めています.また,これを代入して計算すれば

  1/1^3+1/3^3+1/5^3+・・・=π^2/4log2+2∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

  ζ(3)=2π^2/7log2+16/7∫(0,π/2)xlog(sinx)dx

が得られます(1772年).

 このとき,

  1+1/3^3+1/5^3+1/7^3+・・・

の値が必要になりますが,この値はζ(3)=Σ1/n^3 から次のようにして求まります.

  1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+・・・

 =(1+1/2^3+1/4^3+・・・)(1+1/3^3+1/5^3+・・・)

 =1/(1−1/8)・(1+1/3^3+1/5^3+・・・)

より,分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

  {1-2^(ーs)}ζ(s)

 さらに,

  1/1^s−1/2^s+1/3^s−1/4^s+・・・

 =2(1/1^s+1/3^s+1/5^s+1/7^s+・・・)−(1/1^s+1/2^s+1/3^s+1/4^s+・・・)

より,+,−が交互に出現すると一般式

  {1-2^(1ーs)}ζ(s)

を得ることができます.

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