■eやπに収束する分数列(その16)

 フィボナッチ数列の連続する2項の項比は黄金比に収束することは有名である.ところで,

[Q]n→∞のとき

  Σ(n,2k)x^k/Σ(n,2k+1)x^k

の収束値は?

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 分子の級数の項比は

  ak+1xk+1/akxk=(n-2k)(n-2k-1)/2(2k+1)*x/(k+1)

  ak+1xk+1/akxk=(2k-n)(2k-n+1)/2(2k+1)*x/(k+1)

  ak+1xk+1/akxk=(k-n/2)(k+(1-n)/2)/(k+1/2)*x/(k+1)

であるから,

  a0*2F1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)

また,a0=1より

  2F1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)

 分母の級数の項比は

  ak+1xk+1/akxk=(n-2k-1)(n-2k-2)/2(2k+3)*x/(k+1)

  ak+1xk+1/akxk=(2k-n+1)(2k-n+2)/2(2k+3)*x/(k+1)

  ak+1xk+1/akxk=(k+(1-n)/2)(k+(2-n)/2)/(k+3/2)*x/(k+1)

であるから,

  a0*2F1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)

また,a0=nより

  n・2F1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)

  2F1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)={(1+√x)^n+(1−√x)^n}/2

  n・2F1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)={(1+√x)^n−(1−√x)^n}/2√x

{(1+√x)^n+(1−√x)^n}/{(1+√x)^n−(1−√x)^n}

={1+{(1−√x)/(1+√x)}^n}/{1−{(1−√x)/(1+√x)}^n}

={1+{(1−√x)/(1+√x)}^n}Σ{(1−√x)/(1+√x)}^k}

|(1−√x)/(1+√x)|<1より,

  Σ(n,2k)x^k/Σ(n,2k+1)x^k→√x

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[1]x=2のとき,√2の最良近似分数列

  1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,・・・

  x^2−2y^2=−1,1

[2]x=3のとき,√3の最良近似分数列

  1/1,2/1,5/3,7/4,19/11,・・・

  x^2−2y^2=−2,1

  [参]五輪教一「黄金比の眠るほこら」,日本評論社

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