［１］ペル方程式の解法

　ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝±１

で表されるものです．

　ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．たとえば，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の解を求めようと思ってもなかなか見つかりません．それもそのはずで，この最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．

　この解を合理的に出すには，後述するように√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

　このペル方程式は，実２次体Ｑ（√１９９）と関係しているのですが，ｘ^2−ｍ＝０の根√ｍを添加して得られる体Ｑ（√ｍ）の元は一意的に

　　ａ＋ｂ√ｍ

の形で表されます．そして，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，

　　−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・

によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．

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［２］連分数

　ｍが小さいときは比較的簡単に求まりましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，

　　ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１

の最小解は

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

にもなってしまいます．

　この解を求めるには√１９９の連分数展開

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．

　（その３）で述べたことを標準連分数の場合に書き換えますと，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn

　　Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2

　　Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2　　　(n=2,3,･･･)

で

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

　　ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn　　　(n=2,3,･･･)

が成り立ちます．

　また，

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］

の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して

　　αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］

なる実数αnを定めると

　　α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］

　　　＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）

が証明されます．

　これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，

　　√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］　　　（周期ｎ）

　　αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1

より

　　√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）

　ここで，

　　ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n　　　(n=1,2,･･･)

より，

　　Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n

となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．

　　√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］

では，ｑ1＝１４，ｑ2＝９，ｑ3＝２，・・・，ｎ＝２０ですから

Ｐ Ｑ

０ 1 0

１ 14 1

２ 127 9

３ 268 19

４ 396 28

５ 1058 75

６ 2511 178

７ 13613 965

８ 56963 4038

９ 70576 5003

10 127593 9041

11 1728583 122536

12 1856122 131577

13 3584705 254113

14 16194942 1148029

15 84559415 5994258

16 185313772 13136545

17 455186959 32267348

18 640500731 45403893

19 1736188421 123075134

20 16266196520 1153080099

となって，

　　（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）

が得られました．

　ペル方程式は√ｍの連分数展開を用いると非常には求められるのですが，最小解がｍと較べて非常に大きい例としては

ｍ　　 　　　　　ε　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ノルム

46 　　２４３３５＋３５８８√４６　　　　　　　　　　　　　　　　　＋１

94 　　２１４３２９５＋２２１０６４√９４　　　　　　　　　　　　　＋１

151　　１７２８１４８０４０＋１４０６３４６９３√１５１　　　　　　＋１

193　　１７６４１３２＋１２６９８５√１９３　　　　　　　　　　　　−１

409　　１１１９２１７９６９６８＋５５３４１７６６８５√４０９　　　−１

526　　８４０５６０９１５４６９５２９３３７７５＋３６６５０１９７５７３２４２９５５３２√５２６　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋１

などが知られているようです．

　なお，ペル方程式は，

　　ｘ^2−ｍｙ^2＝ｄ（多くは±１，±４）

を扱うものでしたが，

　　ｘ^2±ｍｙ^2＝ｐ

を扱うのが類体論です．これについてはコラム「奇数ゼータと杉岡の公式（その１３）」をご参照下さい．

　　［参］小野孝「数論序説」裳華房

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