【１】ｅに収束する分数列

　　ａn+1＝（４ｎ＋２）ａn＋ａn-1，ｂn+1＝（４ｎ＋２）ｂn＋ｂn-1

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ａ3＝１９，ｂ1＝１，ｂ2＝１，ｂ3＝７とすると

　　ａn／ｂn→　ｅ

となります．

　これは，連分数展開

　　ｅ＝１／／１−１／／１＋Φ（１／／２−１／／（２ｋ＋１））

　　（ｅ−１）／（ｅ＋１）＝Φ（１／／（４ｋ−２））

に基づいています．

　ｅの近似分数の係数は整数ではありませんが，係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります．

ｎ　　１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６

ａn 3　 19 193 2721 49171 1084483

ｂn 1 7 71 1001 18089 398959

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【２】ｅ＋πに収束する分数列

　有理関数係数の線形な漸化式

　　ｃ0＝５，ｃ1＝−１／３

　　ｃn＝−（２ｎ−１）（２ｎ^3−５ｎ^2＋ｎ−１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-1＋（２ｎ−３）（２ｎ^2＋ｎ＋１）／ｎ（２ｎ＋１）（２ｎ^2−３ｎ＋２）・ｃn-2

　このとき，Σｃnは，

　　ｅ＋π＝５．８５９８７・・・

に収束する．

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