■eやπに収束する分数列(その5)

【1】eに収束する分数列

  an+1=(4n+2)an+an-1,bn+1=(4n+2)bn+bn-1

初期値をa1=1,a2=3,a3=19,b1=1,b2=1,b3=7とすると

  an/bn→ e

となります.

 これは,連分数展開

  e=1//1−1//1+Φ(1//2−1//(2k+1))

  (e−1)/(e+1)=Φ(1//(4k−2))

に基づいています.

 eの近似分数の係数は整数ではありませんが,係数が次々に大きくなるので近似速度は速くなります.

n  1   2   3   4   5   6

an 3  19 193 2721 49171 1084483

bn 1 7 71 1001 18089 398959

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【2】e+πに収束する分数列

 有理関数係数の線形な漸化式

  c0=5,c1=−1/3

  cn=−(2n−1)(2n^3−5n^2+n−1)/n(2n+1)(2n^2−3n+2)・cn-1+(2n−3)(2n^2+n+1)/n(2n+1)(2n^2−3n+2)・cn-2

 このとき,Σcnは,

  e+π=5.85987・・・

に収束する.

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