球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径），Ｖ2=π（面積），Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみると，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　一方，半径ｒのｎ次元超球の体積はＶnｒ^nですから，体積を１とするｒの値はＶn^(-1/n)で与えられます．また，ｎ次元超球の中心を通る超平面による切り口は（ｎ−１）次元超球であり，その体積はＶn-1ｒ^(n-1)で表されますから，体積が１の超球の切り口の体積は

　　Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

となります．

ｎ Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

２ 1.128

３ 1.209

４ 1.265

５ 1.307

６ 1.339

７ 1.365

８ 1.387

９ 1.405

10 1.420

11 1.434

12 1.445

13 1.456

14 1.465

　　Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)

とおくと，

　　Ａn/Ａn-2＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)/Ｖn-3・Ｖn-2^(1/(n-2)-1)

ですから，ｎ→∞のとき，

　　Ａn/Ａn-2→(Ｖn/Ｖn-2)^(1/n)=(2π/n)^(1/n)→１

これより，次元を高くすれば断面積はある極限値に収束しそうです．ｎ→∞のとき，Ｖn-1→０，Ｖn→０ですが，Ａn＝Ｖn-1・Ｖn^(1/n-1)の極限値を求めてみることにしましょう．

　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!より，

　　Ａn＝{(n/2)!}^(1-1/n)/{(n-1)/2}!

これを有名なスターリングの近似公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）

を使って書き直してみましょう．簡約化すると

　　Ａn→(n/2)^(n/2)/{(n-1)/2}^(n/2)

　　　　＝{n/(n-1)}^(n/2)

　　　　＝{(1+1/(n-1))^(n-1)}^(1/2)*{n/(n-1)}^(1/2)

　　　　→e^(1/2)

したがって，極限値√ｅ＝１．６４８７・・・に収束することがわかります．

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