フィボナッチ数列の連続する２項の項比は黄金比に収束することは有名である．ところで，

［Ｑ］ｎ→∞のとき

　　Σ（ｎ，２ｋ）ｘ^k／Σ（ｎ，２ｋ＋１）ｘ^k

の収束値は？

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　分子の級数の項比は

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(n-2k)(n-2k-1)/2(2k+1)*x/(k+1)

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(2k-n)(2k-n+1)/2(2k+1)*x/(k+1)

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(k-n/2)(k+(1-n)/2)/(k+1/2)*x/(k+1)

であるから，

　　ａ0*2Ｆ1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)

また，ａ0=1より

　　2Ｆ1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)

　分母の級数の項比は

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(n-2k-1)(n-2k-2)/2(2k+3)*x/(k+1)

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(2k-n+1)(2k-n+2)/2(2k+3)*x/(k+1)

　　ａk+1ｘk+1/ａkｘk=(k+(1-n)/2)(k+(2-n)/2)/(k+3/2)*x/(k+1)

であるから，

　　ａ0*2Ｆ1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)

また，ａ0=nより

　　n･2Ｆ1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)

　　2Ｆ1((-n)/2,(1-n)/2:1/2:x)＝｛（１＋√ｘ）^n＋（１−√ｘ）^n｝／２

　　n･2Ｆ1((2-n)/2,(1-n)/2:3/2:x)＝｛（１＋√ｘ）^n−（１−√ｘ）^n｝／２√ｘ

｛（１＋√ｘ）^n＋（１−√ｘ）^n｝／｛（１＋√ｘ）^n−（１−√ｘ）^n｝

＝｛１＋｛（１−√ｘ）／（１＋√ｘ）｝^n｝／｛１−｛（１−√ｘ）／（１＋√ｘ）｝^n｝

＝｛１＋｛（１−√ｘ）／（１＋√ｘ）｝^n｝Σ｛（１−√ｘ）／（１＋√ｘ）｝^k｝

｜（１−√ｘ）／（１＋√ｘ）｜＜１より，

　　Σ（ｎ，２ｋ）ｘ^k／Σ（ｎ，２ｋ＋１）ｘ^k→√ｘ

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［１］ｘ＝２のとき，√２の最良近似分数列

　　１／１，３／２，７／５，１７／１２，４１／２９，・・・

　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１，１

［２］ｘ＝３のとき，√３の最良近似分数列

　　１／１，２／１，５／３，７／４，１９／１１，・・・

　　ｘ^2−２ｙ^2＝−２，１

　　［参］五輪教一「黄金比の眠るほこら」，日本評論社

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