■隣り合う素数の間隔(その34)

【1】素因数の累乗の評価

[1]n!を素因数分解したとき,ある素数pがp^rの形で含まれていたとすると,ガウス記号[・]を用いて

  p=[n/p]+[n/p^2]+・・・+[n/p^s]+・・・

[2]cn=2nCnを=(2n)!/(n!)^2

を素因数分解すると,√2nより大きい素数は現れてもp^1の形である.それ以下の素数がp^kの形で現れれば,p^k≦2nである.

(証明)この式に対応する不等式

  [2n/p^s]−2[n/p^s]

は0か1であることよりQED.n/p^sの小数部分が0.5未満ならば0,0.5以上ならば1であることを具体的に確かめてみるとよい.

 すなわち,素因数分解するとnより大きく2n以下の素数があれば,それらはすべて1乗の形の積として現れます.もしもその間に素数がなければ,n以下の素数の積で表されるはずです(実はさらに2n/3以下の素数の積なります.2n/3より大きくn以下の素数は分子に2回,分母に2回現れて約分される).

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