１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

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【１】ｎ^3と（ｎ＋１）^3の間に素数がある

　　１^3＜２，３５，７＜２^3＜１１，１３，１７，１９，２３＜３^3＜・・・

それは言い換えると

　　π（（ｎ＋１）^3）−π（ｎ^3）≧１

ということである．

　リーマン予想を仮定すると，コッホの結果より，

　　π（ｘ）＝Ｌｉ（ｘ）＋Ｏ（ｘ^1/2ｌｏｇｘ）

　　｜π（ｘ）−Ｌｉ（ｘ）｜≦Ｃ・ｘ^1/2ｌｏｇｘ

　したがって，ｎが十分大きいとき，　　

　　π（（ｎ＋１）^3）−π（ｎ^3）≧Ｌｉ（（ｎ＋１）^3）−Ｌｉ（ｎ^3）−３Ｃ（ｎ＋１）^3/2ｌｏｇ（ｎ＋１）−３Ｃｎ^3/2ｌｏｇｎ

＝∫(n^3,(n+1)^3)ｄｕ／ｌｏｇｕ−３Ｃ｛（ｎ＋１）^3/2ｌｏｇ（ｎ＋１）＋ｎ^3/2ｌｏｇｎ｝

＞｛（ｎ＋１）^3−ｎ^3｝／３ｌｏｇ（ｎ＋１）−３Ｃ｛（ｎ＋１）^3/2ｌｏｇ（ｎ＋１）＋ｎ^3/2ｌｏｇｎ｝

　ここで，第１項はｎ^2／ｌｏｇｎ程度，第２項は６Ｃｎ^3/2ｌｏｇｎ程度の大きさであるから

　　ｌｉｍ｛π（（ｎ＋１）^3）−π（ｎ^3）｝＝＋∞

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【２】ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に素数がある？

　一方，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数があるかという予想（ルジャンドル予想）は未解決です．例として３^2＝９と４^2＝１６の間には２つの素数１１，１３が存在します．

　　１^2＜２，３＜２^2＜５，７＜３^2＜１１，１３＜４^2＜・・・

　ｎが十分大きいとき，　　

　　π（（ｎ＋１）^2）−π（ｎ^2）≧Ｌｉ（（ｎ＋１）^2）−Ｌｉ（ｎ^2）−２Ｃ（ｎ＋１）^2/2ｌｏｇ（ｎ＋１）−２Ｃｎ^2/2ｌｏｇｎ

＝∫(n^2,(n+1)^2)ｄｕ／ｌｏｇｕ−２Ｃ｛（ｎ＋１）^2/2ｌｏｇ（ｎ＋１）＋ｎ^2/2ｌｏｇｎ｝

＞｛（ｎ＋１）^2−ｎ^2｝／２ｌｏｇ（ｎ＋１）−２Ｃ｛（ｎ＋１）^2/2ｌｏｇ（ｎ＋１）＋ｎ^2/2ｌｏｇｎ｝

　ここで，第１項はｎ／ｌｏｇｎ程度，第２項は４Ｃｎｌｏｇｎ程度の大きさであるから，誤差項が優勢になってしまい，リーマン予想からはわからないのです．

　　ｌｉｍ｛π（（ｎ＋１）^2）−π（ｎ^2）｝＝？

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　調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．ｎが大きくなるにつれて素数の分布はまだらになりますが，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間も広がります．

　ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に十分な数の素数が存在しなくなる可能性は常にあり，だれもこの予想を証明したりあるいは反例をあげたりすることができていないのです．

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