１８４５年にフランスの数学者ベルトランは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という予想を立てました．

　５０年以上たって，ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました．この証明は彼が実に１８才のときだったそうですから，「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．

　一方，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に常に素数があるかという予想（Opperman予想）は未解決です．例として３^2＝９と４^2＝１６の間には２つの素数１１，１３が存在します．

　調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，また，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．ｎが大きくなるにつれて素数の分布はまだらになりますが，ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間も広がります．

　ｎ^2と（ｎ＋１）^2の間に十分な数の素数が存在しなくなる可能性は常にあり，だれもこの予想を証明したりあるいは反例をあげたりすることができていないのです．

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