【１】タイシンガーの問題

（問）ｎ＞１ならば，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

は決して整数にはならないことを示せ．　　　（タイシンガー，１９１５年）

　たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．

（証）２^k≦ｎとなる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)ＰＨn

　＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）

は，２^(k-1)Ｐ／２^k以外の項はすべて整数となる．

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【２】ベルトランの仮説「ｎと２ｎの間に素数がある」

　これに対して，別証を与えてみましょう．

（問）　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ≠整数

（別証）ｎ未満のｎにもっとも最も近い素数ｐ（＞ｎ／２に必ずある：ベルトラン・チェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」）を考える．Ｐをｐ未満のすべての素数の積とすると，

　　ＰＨn＝ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｐ＋・・・＋１／ｎ）

　このとき，１／ｐは分母にｐが残り，１／ｐは他に打ち消す項がないので整数になりそうもありません．ｎが素数ならもちろん整数でない．合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る．これはおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．

　ベルトランの仮説については，コラム「ベルトラン・チェビシェフの定理とエルデシュによる初等的証明」をご参照下さい．

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【３】類似問題

　タイシンガーと類似の問題としては，

（問）　１／（ａ＋１）＋１／（ａ＋２）＋・・・＋１／（ａ＋ｎ）

は決して整数にはならない　　　（クルシュチャク，１９１８年）

（問）　１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）

は決して整数にはならない　　　（エルデシュ，１９３２年）

などがあげられます．

　たとえば，

（問）Ｓn＝１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１）

と定義すると，Ｓ1=1,Ｓ2=4/3,Ｓ3=23/15,･･･,Ｓ∞=∞となります．それでは，ｎ＞１ならば，Ｓn は整数にはならないことを示せ．

（証）３^k≦２ｎ＋１となる最大の指数をｋ，Ｐを６と互いに素かつ２ｎ＋１以下のすべての整数の積とすると，

　　３^(k-1)ＰＳn

　＝３^(k-1)Ｐ（１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ＋１））

は，３^(k-1)Ｐ／３^k以外の項はすべて整数となる．

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　　Ｓn＝１／（ａ＋ｄ）＋１／（ａ＋２ｄ）＋・・・＋１／（ａ＋ｎｄ）

において，ａ＝１の場合は次のように一般化することができる．

（証）（ｄ＋１）^k≦ｄｎ＋１となる最大の指数をｋ，Ｐを（ｄ＋１）！と互いに素かつｄｎ＋１以下のすべての整数の積とすると，

　　（ｄ＋１）^(k-1)ＰＳn

は，（ｄ＋１）^(k-1)Ｐ／（ｄ＋１）^k以外の項はすべて整数となる．

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