■隣り合う素数の間隔(その9)

 1845年にフランスの数学者ベルトランは任意の数nと2nの間には少なくとも一つの素数pが存在する(n<p≦2n),同じことですが素数pの次の素数は2pより小さい(pk+1 <2pk )という予想を立てました.

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【1】nと2nの間に素数がある

 50年以上たって,ロシアの数学者チェビシェフがベルトランの仮説を証明しました.この証明は彼が実に18才のときだったそうですから,「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです.チェビシェフの定理によって,素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります.

 さらに,チェビシェフは1852年に,十分大きなxについてπ(x)/(x/logx)がc1=0.92129とc2=1.10555の間にあるという結果を得ています.

  c1x/logx<π(x)<c2x/logx

 実はチェビシェフはもっと狭い範囲の中にも必ず素数が存在することを証明したのですが,1911年,イタリアの数学者ボノリスがnと3n/2の間にある素数の個数の近似式を導きました.

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 n<p≦2nの間には常に1個の素数がある(1845年のベルトラン仮説を1850年,チェビシェフが証明した)ことを直接,素数定理から漸近表現を求めると

  π(2x)−π(x)〜2x/ln(2x)−x/ln(x)

 〜2x/(lnx+ln2)−x/lnx

 〜(2xlnx−x(lnx+ln2))/lnx(lnx+ln2)

 〜(xlnx−xln2))/(lnx)^2(1+ln2/lnx)

 〜(x/lnx−xln2/(lnx)^2)(1−ln2/lnx)

 〜x/lnx−2xln2/(lnx)^2

となる.

 あるいは同じことであるが,各素数はその前の素数の2倍より小さい.

  pk+1<2pk

n番目の素数は

  pn〜nln(n)

であるから,漸近的に2nとn^2の間に位置する.したがって,素数は偶数よりは少ないが平方数よりは多い.

 もっとよい近似では

  lnx−3/2<x/π(x)<lnx−1/2

  n(ln(n)+lnln(n)−3/2)<pn<n(ln(n)+lnln(n)−1/2))

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【2】nとknの間に素数がある

 一般化しておきたい.

  π(kx)−π(x)〜kx/ln(kx)−x/ln(x)

 〜lx/(lnx+lnk)−x/lnx

 〜(kxlnx−x(lnx+lnk))/lnx(lnx+lnk)

 〜((k−1)xlnx−xlnk))/(lnx)^2(1+lnk/lnx)

 〜((k−1)x/lnx−xlnk/(lnx)^2)(1−lnk/lnx)

 〜(k−1)x/lnx−kxlnk/(lnx)^2

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