■エルデシュ・モーデルの定理（その６）
【２】エルデシュの不等式
三角不等式（Ｒ≧２ｒ）は，より一般的には「△ＡＢＣ内の任意の点Ｐから，各頂点までの距離をＲ1，Ｒ2，Ｒ3，各辺（またはその延長）までの距離をｒ1，ｒ2，ｒ3とすれば，
Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3≧２（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3）
等号は△ＡＢＣが正三角形で，Ｐがその重心であるとき」
で与えられます．
これが「エルデシュの定理」で，この定理はＲ≧２ｒの一般化であると考えられます．エルデシュの定理は，簡単に
Ａ（Ｒ）≧２Ａ（ｒ）
と書けますが，Ａは算術平均の略で，Ｒの算術平均≧２（ｒの算術平均）という意味です．
エルデシュの定理は，算術平均Ａを調和平均Ｈ，幾何平均Ｇに置き換えても成り立ちます．すなわち，
Ｒ1Ｒ2Ｒ3≧８ｒ1ｒ2ｒ3
１／ｒ1＋１／ｒ2＋１／ｒ3≧２（１／Ｒ1＋１／Ｒ2＋１／Ｒ3）
また，２次の基本対称式に対しては
Ｒ1Ｒ2＋Ｒ2Ｒ3＋Ｒ3Ｒ1≧４（ｒ1ｒ2＋ｒ2ｒ3＋ｒ3ｒ1）
も知られています．この種の不等式は美しい．しかし，証明は難しい・・・．
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【４】任意の多面体への拡張
Ａ（Ｒ）≧ＣＡ（ｒ）
の右辺の算術平均：Ａ（ｒ）をもっと小さな平均値，調和平均：Ｈ（ｒ）で置き換えることを試みます
ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６ ｎ≧３
を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．
ａ）ｎ個の頂点またはｎ個の面をもつ凸多面体の内接球半径ｒおよび外接球半径Ｒの間には，球殻不等式
Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎωn
が成立します．ｎ＝４のとき，ωn＝π／３．したがって，
Ｒ／ｒ≧３ （４面体不等式）
が得られます．
これを一般化すると，
ｂ）単位球を含む，ｎ個の面をもつ３稜頂点多面体において，球の中心から各頂点までの距離をＲ1，・・・，Ｒ2n-4とすれば，
Ａ（Ｒ1，・・・，Ｒ2n-4）≧√３ｔａｎωn
ｃ）ｎ個の頂点をもつ三角形面多面体が単位球に含まれるとき，球の中心から各面までの距離ｒ1，・・・，ｒ2n-4とすれば，
Ｈ（ｒ1，・・・，ｒ2n-4）≧１／√３ｃｏｔωn
ここで，Ａ，Ｈはそれぞれ算術平均，調和平均を表しているのですが，等号は５つの正多面体に対して成り立ちます．
Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωnは一般的に成り立ちませんが，しかし，Ａ（Ｒ，ｑ）をそれぞれの頂点における稜数ｑで重みづけをした算術平均，Ｈ（ｒ，ｐ）をそれぞれの面の辺数で重みづけした調和平均とすると，
ｄ）三角形面多面体において
Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ）≧√３ｔａｎωn
ｅ）３稜頂点多面体において
Ａ（Ｒ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧√３ｔａｎωn
が成り立ちます．
これらの不等式は，頂点数ｖあるいは面数ｆの与えられた多面体に関する不等式でしたが，稜数がｅの凸多面体に対しては
ｆ） Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎ｛ｅ／（ｅ−３）・π／６｝
等号は正４面体に対してのみ成り立つ．
ｇ） Ｒ／ｒ≧ｔａｎ^2｛（ｅ＋２）／ｅ・π／２｝
は前式よりも一般的で精密で，等号は正４面体に対してのみ成り立ちます．
凸多角形ではｖ−ｅ＝０でしたから，ｎ角形は必然的にｎ辺形になりましたが，凸多面体では
ｖ−ｅ＋ｆ＝２
ですから，多角形の３次元空間への拡張は，頂点数ｖ，稜数ｅ，面数ｆがともに与えられることによって完全になります．そこで，多面体の平均面数，平均稜数をそれぞれ
ｐ~＝２ｅ／ｆ，ｑ~＝２ｅ／ｖ
とおくと，
ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^2≦Ｓ≦ｅｓｉｎ（２π／ｐ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~）−１）Ｒ^2
ｅ／３ｓｉｎ（２π／ｐ~）（ｔａｎ^2（π／ｐ~）ｔａｎ^2（π／ｑ~）−１）ｒ^3≦Ｖ≦２ｅ／３ｃｏｓ^2（２π／ｐ~）ｃｏｔ（２π／ｑ~）（１−ｃｏｔ^2（π／ｐ~）ｃｏｔ^2（π／ｑ~））Ｒ^3
これより，内接球半径，外接球半径をそれぞれｒ，Ｒとすれば，球殻不等式
ｈ） Ｒ／ｒ≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）
が導かれます．等号は正多面体に対して成り立つのですが，残念なことに，この式は証明が不完全で，予想にしかすぎません．
また，これらをひとまとめにすると
ｉ） Ａ（Ｒ，ｑ）／Ｈ（ｒ，ｐ）≧ｔａｎ（π／ｐ~）ｔａｎ（π／ｑ~）
も予想されるのですが，・・・．
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