ここでは，数列

　　ａn＝（１＋√２）^n＋（１−√２）^n

　　ａ0＝２，ａ1＝２，ａ3＝６

を考えます．

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［Ｑ］数列｛ａn｝の漸化式は？

［Ａ］ａn+1＝２ａn＋ａn-1

［Ｑ］［（１＋√２）^n］＝ｎ　　（ｍｏｄ２）を証明せよ．

［Ａ］ａnが偶数で，−１＜（１−√２）＜０より説明できる．

［Ｑ］α＝（ｐ＋√ｑ）／２，ｐ，ｑは正整数で，

　　［α^n］＝ｎ　　（ｍｏｄ２）

を満たすｐ，ｑをみつけよ．

［Ａ］ｂ0＝２，ｂ1＝ｐ

　　　ｂn＝｛（ｐ＋√ｑ）／２｝^n＋｛（ｐ−√ｑ）／２｝^n

が奇数で，−１＜（ｐ−√ｑ）／２＜０

　　ｂn＝ｐｂn-1＋１／４・（ｑーｐ^2）ｂn-2

よりｐ＝３，ｑ＝１７がひとつの解となる．

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