【３】カタラン数の漸近挙動

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！

という数列と２^nという数列の増加の仕方を比較してみるために，比

　　Ｃn／２^n

をとると，ｎ→∞のときＣn／２^n→∞となってしまうことがわかります．

　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2（ｎ＋１）

に対して，スターリングの漸近公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）＝√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k

を適用すると，

　　Ｃn〜２^2n／√（ｎπ）（ｎ＋１）〜４^nｎ^(-3/2)／√π

　　Ｃn／４^nｎ^(-3/2)→１／√π

に収束することがわかる．

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