■増加整数列(その26)

【3】カタラン数の漸近挙動

  Cn=2nCn/(n+1)=(2n)!/n!(n+1)!

という数列と2^nという数列の増加の仕方を比較してみるために,比

  Cn/2^n

をとると,n→∞のときCn/2^n→∞となってしまうことがわかります.

 Cn=2nCn/(n+1)=(2n)!/(n!)^2(n+1)

に対して,スターリングの漸近公式

  k!=√2π・k^(k+1/2)・exp(−k)=√(2πk)・(k/e)^k

を適用すると,

  Cn〜2^2n/√(nπ)(n+1)〜4^nn^(-3/2)/√π

  Cn/4^nn^(-3/2)→1/√π

に収束することがわかる.

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