制限のない分割の母関数は何か？

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Σp(n)q^n=(1+q+q^2+q^3+q^4+・・・)(1+q^2+q^4+q^6+q^8+・・・)(1+q^3+q^6+q^9+q^12+・・・)・・・

=Π(1+q^n+q^2n+q^3n+q^4n+・・・)=Π1/(1-q^n)

オイラーは経験的に、オイラーの五角数定理

Π1/(1-q^n)=Σ(-1)^nq^n(3n-1)/2

を発見し、

(Σ(-1)^nq^n(3n-1)/2)(Σp(n)q^n)=1から漸化式

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+・・・(

を発見した。

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