オイラーは

p(0)=1

p(0)+p(1)x+p(2)x^2+・・・

=(1+x+x^2+x^3+・・・)(1+x^2+x^4+x^6+・・・)(1+x^3+x^6+x^9+・・・)・・・

=1/(1-x)(1-x^2)(1-x^3)・・・

さらに、オイラーは五角数定理を証明した

Π(1-x^k)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+・・・

=Σ(-1)^qx(3q^2+q)/2=1

したがって,n<0のとき、p(n)=0とすると

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+・・・

=Σ(-1)^q+1{p(n-(3q^2-q)/2)+p(n-(3q^2+q)/2)}

が導かれる。

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nの相異なる正整数への分割の個数をd(n)

奇数への分割の個数をo(n)とすると

Σd(k)x^k=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)・・・=Π(1+x^k)

Σo(k)x^k=(1+x+x^2+・・・)(1+x^3+x^6+・・・)(1+x^5+x~10+・・・)・・・=1/Π(1-x^2k-1)

(1+x^k)=(1-x^2k)/(1-x^k)より

Σd(k)x^k=Π(1+x^k)=1/Π(1-x^2k-1)=Σo(k)x^k

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