■多角形不等式と三角形不等式(その2)

[Q]平面三角形ABC内に一点Pに対し,

  AB+AC>PB+PC

であることを証明せよ.

[A]三角不等式より,AB+AC>BC,AP+PB>AB,AP+PC>AC,PB+PC>BCとしてもうまくいかない.

 APの延長が辺BCと交わる点をXとする.線分AP上に任意の点Yをとると

  YB>PB,YC>PC,YB+YC>PB+PC

Y→Aとすれば

  AB+AC>PB+PC

が成り立つ.

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[Q]3次元の四面体ABCD内に一点Pに対し,

  AB+AC+AD>PB+PC+PD

は成立するか?

[A]成立するなら証明し,成立しなければ反例を示さなければならない.

 APの延長が面BCDと交わる点をXとする.線分AP上に任意の点Yをとると

  YB>PB,YC>PC,YD>PD,YB+YC+YD>PB+PC+PD

Y→Aとすれば

  AB+AC+AD>PB+PC+PD

が成り立つ・・・こうすれば,前問同様,成立するように思われるかもしれない.

 しかし,それは手抜き?思い込み?疑ってみる気がない?であって,実は成立しないのだそうだ.

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[まとめ]三角形では成り立っても,四面体では成立しない.反例として,正三角形に退化した正四面体を考えると,

  AB+AC+AD=(正三角形の中線の長さの2倍)

であるが,点PをBにとると

  PB+PC+PD=(正三角形の辺の長さの2倍)

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