【４】モーザーの箱詰め問題

［Ｑ１］縦，横それぞれ１／ｋ，１／（ｋ＋１）の長方形を単位正方形の中に詰め込むことができるか？

　幾何学的に考慮すれば，級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は縦、横それぞれ１／ｋ，１／（ｋ＋１）の長方形を単位正方形の中に詰め込む問題になります．

　級数Σ１／ｎ（ｎ＋１）は，優雅な公式Σ１／ｎ^2＝π^2／６に表面的にはよく類似していますが，

　Σ１／ｎ（ｎ＋１）＝Σ（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

＝（１−１／２）＋（１／２−１／３）＋（１／３−１／４）＋・・・

＝１

となり，両者の間には大きな格調の差があるという有名な例になっています．

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［Ｑ２］１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／６−１）の正方形の中に詰め込むことができるか？

　オイラーのゼータ関数ζ（２）＝Σ１／ｎ^2＝π^2／６を幾何学的に考慮すれば，１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／６−１）の正方形の中に詰め込む問題になります．

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［Ｑ３］１辺の長さが１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／８−１）の正方形の中に詰め込むことができるか？

　オイラーのゼータ関数Σ１／（２ｎ＋１）^2＝π^2／８を幾何学的に考慮すれば，１辺の長さが１，１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さが√（π^2／８−１）の正方形の中に詰め込む問題になります．

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　Ｑ１に関しては辺長５０１／５００の正方形に詰め込めることが証明されています．また，Ｑ３に関しては面積

　　（１／３＋１／５）（１／３＋１／９）＝３２／１３５

の長方形に詰め込めることが示されています．

　以上の同趣向の３つの問題はいまだに解かれていません．もし肯定的に解かれるならばそれ以上の改良はできないことは明らかです．しかしながら，以下の２つの問題は正確な結果が得られています．

［Ａ４］１辺の長さが１／２，１／３，１／４，・・・のすべての正方形を１辺の長さが５／６の正方形の中に詰め込むことができる．

［Ａ５］半径が１，１／２，１／３，１／４，・・・のすべての円を半径３／２の円の中に詰め込むことができる．

　ところで，Ｑ２は１辺の長さが１，１／２，１／３，１／４，・・・の正方形を１辺の長さがπ／√６の正方形の中に詰め込む問題，Ｑ３は１辺の長さが１，１／３，１／５，１／７，・・・の正方形を１辺の長さがπ／√８の正方形の中に詰め込む問題と等価になるのでしょうか？

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