■増加整数列(その20)

 2に収束する数列としては

  {(1+(ln2)/n)^n}

があるが,この数列の収束は緩徐である.

  {Σ1/2^k}={1+1/2+1/4+1/8+・・・}

も同様である.

===================================

 (1,2,3,4,5,6,7)の順列,たとえば,

  3,4,5,1,6,7,2

を考える.

 これは単調増加する部分列3つ

  L1={3,4,5},L2={1,6,7},L3={2}

に分かれる.|L1|=3,|L2|=3,|L3|=1

 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)の順列,たとえば,

  1,2,9,8,5,3,6,7,0,4}

を考える.同様に連続上昇部分の数列の長さを計算すると

  L1={1,2,9},L2={8},L3={5},L4={3,6,7},L5={0,4}

  |L1|=3,|L2|=1,|L3|=1,|L4|=3,|L5|=2

 (1,2,3,4,5,6,7,・・・,n)の順列でも同様に考えることができる.

 n→∞のとき,L1の長さ|L1|の平均は,

  e−1=1.718281828

に近づく.同様に

  |L2|=e^2−2e=1.9524

  |L3|=e^3−3e^2+3e/2=1.9957

  |Ln|→2

===================================