２に収束する数列としては

　　｛（１＋（ｌｎ２）／ｎ）^n｝

があるが，この数列の収束は緩徐である．

　　｛Σ１／２^k｝＝｛１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・｝

も同様である．

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　（１，２，３，４，５，６，７）の順列，たとえば，

　　３，４，５，１，６，７，２

を考える．

　これは単調増加する部分列３つ

　　Ｌ1＝｛３，４，５｝，Ｌ2＝｛１，６，７｝，Ｌ3＝｛２｝

に分かれる．｜Ｌ1｜＝３，｜Ｌ2｜＝３，｜Ｌ3｜＝１

　（０，１，２，３，４，５，６，７，８，９）の順列，たとえば，

　　１，２，９，８，５，３，６，７，０，４｝

を考える．同様に連続上昇部分の数列の長さを計算すると

　　Ｌ1＝｛１，２，９｝，Ｌ2＝｛８｝，Ｌ3＝｛５｝，Ｌ4＝｛３，６，７｝，Ｌ5＝｛０，４｝

　　｜Ｌ1｜＝３，｜Ｌ2｜＝１，｜Ｌ3｜＝１，｜Ｌ4｜＝３，｜Ｌ5｜＝２

　（１，２，３，４，５，６，７，・・・，ｎ）の順列でも同様に考えることができる．

　ｎ→∞のとき，Ｌ1の長さ｜Ｌ1｜の平均は，

　　ｅ−１＝１．７１８２８１８２８

に近づく．同様に

　　｜Ｌ2｜＝ｅ^2−２ｅ＝１．９５２４

　　｜Ｌ3｜＝ｅ^3−３ｅ^2＋３ｅ／２＝１．９９５７

　　｜Ｌn｜→２

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