（０，１，２，３，４，５，６，７，８，９）の順列，たとえば，

　　｛３，５，７，１，６，８，９，４，２｝

を考える．同様に連続上昇部分の数列の長さを計算すると

　　Ｌ1＝｛３，５，７，｝，Ｌ2＝｛１，６，８，９｝，Ｌ3＝｛４｝，Ｌ4＝｛２｝

　　｜Ｌ1｜＝３，｜Ｌ2｜＝４，｜Ｌ3｜＝１，｜Ｌ4｜＝１

　　｜Ｌ1｜＝ｅ−１＝１．７１８２８１８２８

　　｜Ｌ2｜＝ｅ^2−２ｅ＝１．９５２４

　　｜Ｌ3｜＝ｅ^3−３ｅ^2＋３ｅ／２＝１．９９５７

　　｜Ｌn｜→２

はある多項式ｆn（ｘ）のｅにおける値ｆn（ｅ）である．驚くことにこれは２に近づく．

　この問題の出典は

　　D. Knuth, Tha art of computer programming, Reading, Mass. Addison Wesley, 1975

　　Sorting and Searching

にあった．

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　結論を先にいうと，この問題はオイラー数＜ｎ，ｋ＞に関係している．

　　＜ｎ，ｋ＞＝ｋ＜ｎ−１，ｋ＞＋（ｎ−ｋ＋１）＜ｎ−１，ｋ−１＞

　　＜ｎ，０＞＋＜ｎ，１＞＋・・・＋＜ｎ，ｎ＞＝ｎ！

　　＜ｎ，０＞＝０，＜ｎ，１＞＝１，＜ｎ，ｎ＞＝１

　　＜ｎ，ｎ−ｋ＋１＞＝＜ｎ，ｋ＞

　　＜ｎ，ｎ−１＞＝２^n−ｎ−１

　二項係数を使うと

　　＜ｎ，ｋ＞＝ｋ^n−（ｋ−１）^n（ｎ＋１，１）＋（ｋ−２）^n（ｎ＋１，２）−・・・＋（−１）^k０^n（ｎ＋１，ｋ）

＝Σ（−１）^j（ｋ−ｊ）^n（ｎ＋１，ｊ）

　Ｌkは

　　Ｌk＝＜１，ｋ＞／１！＋＜２，ｋ＞／２！＋・・・＝Σ＜ｍ，ｋ＞／ｍ！

その母関数は

　　Ｌ（ｚ）＝ΣＬkｚ^k＝ｚ（１−ｚ）／（ｅｘｐ（ｚ−１）−ｚ）−ｚ

より，

　　Ｌk＝ｋΣｅ^j・（−１）^k-jｊ^k-j-1／（ｋ−ｊ）！

より，

　　｜Ｌ1｜＝ｅ−１＝１．７１８２８１８２

　　｜Ｌ2｜＝ｅ^2−２ｅ＝１．９５２４９

　　｜Ｌ3｜＝ｅ^3−３ｅ^2＋３ｅ／２＝１．９９５７９

　　｜Ｌn｜→２

　しかし，Ｌkは単調増加するのではなく

　　｜Ｌ4｜＝２．０００３

　　｜Ｌ5｜＝２．０００５

　　｜Ｌ6｜＝２．００００

　　｜Ｌ7｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ8｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ9｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ10｜＝２．００００

　　｜Ｌ11｜＝２．００００

　　｜Ｌ12｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ13｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ14｜＝１．９９９９

　　｜Ｌ15｜＝２．００００

　　｜Ｌ16｜＝２．００００

　　｜Ｌ17｜＝２．００００

　　｜Ｌ18｜＝２．００００

と振動しながら２に収束する．

　そして，

　　Ｌ1＋Ｌ2＋・・・＋Ｌk→２ｋ−１／３

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