｜Ｌn｜→２

はある多項式ｆn（ｘ）のｅにおける値ｆn（ｅ）である．驚くことにこれは２に近づく．ｆn（２）→ｅならわかるが，ｆn（ｅ）→２ということはあるのだろうか？

　増加列を減少列としても同じことであるから，この問題は対称多項式が関係しているに違いない．

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【１】対称多項式の拡張（Ｄ1）

　ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+an

が関係式

　　f(x)=f(-1-x)(-1)^n

を満たすとき，ｎ次対称多項式と呼ぶことにします．

　　０次対称多項式：f(x)=c（定数関数）

　　１次対称多項式：f(x)=x+1/2，f(x)=ax+a/2

　　２次対称多項式：f(x)=ax^2+ax+c

　　ｎ次対称多項式：f(x)=ax^n+a(1+x)^n

などはその例です．すなわち，ｘの代わりに−１−ｘを代入すると，ｎが奇数のとき符号が交代，ｎが偶数のとき交代しない関数が対称多項式です．

　　f(x)=f(-1-x)(-1)^n

の両辺を微分すると

　　f'(x)=f'(-1-x)(-1)^(n-1)

　　f"(x)=f"(-1-x)(-1)^(n-2)

(n-k)次導関数も対称多項式になります．ｘ＝０とおくと，ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+anが対称多項式であるための必要十分条件は

　　f(k)(0)=f(k)(-1)(-1)^(n-k) (k=0~n)

が成り立つことであることがわかります．そのためには係数の間に関係式

　　{1+(-1)^(k-1)}ak=Σ(n-i,n-k)ai(-1)^i (k=0~n)

が成り立たねばなりません．

　また，ｓ次対称多項式Ｆs(x)を適当に選んで

　　f(x)=ΣｃsＦn-s(x)

がｎ次対称多項式になるためにはｃ2k+1=0が成り立たねばなりません．

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［１］ベルヌーイ多項式

　　Ｂ0(x)=1，Ｂ2k+1(0)=0，Ｂ's(x)=Ｂs-1(x)

を満たすｓ次対称多項式をベルヌーイ多項式Ｂs(x)として定義します．この条件より帰納的にＢs(x)を求めることができます．

　また，文献によって定義の仕方が異なるのですが，ここではベルヌーイ数を

　　Ｂr=(2r)!(-1)^(r-1)Ｂ2r(0)

として定義します．たとえば，

　　Ｂ1=1/6，Ｂ2=1/30，Ｂ3=1/42，Ｂ4=1/30，Ｂ5=5/66，Ｂ6=691/2730

［２］オイラー多項式Ｅs(x)

　　Ｅ0(x)=1/2，Ｅ2k(0)=0，Ｅ's(x)=Ｅs-1(x)

を満たすｓ次対称多項式をオイラー多項式Ｅs(x)として帰納的に定義します．また，タンジェント数を

　　Ｔr=(2r-1)!2^2r(-1)^(r-1)Ｅ2r-1(0)

で定義しておきます．

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