■L敷き詰め(その5)

 n×nチェス盤から任意の1マスを取り除いた不完全なチェス盤をLトロミノで敷き詰める問題を考える.nが2のベキ乗の場合,それが可能であることはよく知られている.

 2^n×2^n−1=4^n−1=(4−1)(4^n-1+4^n-2+・・・+1)であるから,2^n×2^n−1は3で割り切れる.実は,L字型レプタイルには,2^n×2^nのマス目から任意の1マスを切り取っても,L字型レプタイルを使ってカバーできるのである.

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 これはL字型レプタイルのもうひとつの有名な性質で,数学コンテストで何度も取り上げられたことがある.証明は簡単で,数学的帰納法による.すなわち,

[1]2×2のマス目から任意の1マスを切り取っても,L字型レプタイルを使ってカバーできる.

[2]4×4のマス目から任意の1マスを切り取っても,L字型レプタイルを使ってカバーできる.(4×4のマス目の中央部にL字型がくるようにする)

[3]8×8のマス目から任意の1マスを切り取っても,L字型レプタイルを使ってカバーできる.(8×8のマス目の中央部にL字型がくるようにする)

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 この問題の3次元版を考える.1×1×1の小立方体よりなる2^n×2^n×2^nの大立方体から任意の小立方体を1個取り除く.

 この不完全な立方体をLトロミノの3次元版(8個の小立方体からなる2×2×2の中立方体から1個取り除いた立体)で敷き詰めることはできるのだろうか?

(答)可能.証明は数学的帰納法による.

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