■大円弧多面体(その97)

球面五角形の辺の長さをαとする。

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正五角形の1辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

  sin(α/2)=a

  sin(β/2)=aφ=φsin(α/2)

より,

  β=2arcsin(φsin(α/2))=arccos{1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+(sinα)^2cosω

ここで、α→2αに置き換える

cosβ=(cos2α)^2+(sin2α)^2cosω

  β=2arcsin(φsin(α))=arccos{1-2(φsin(α))^2}

正三角形について、

ω’=π-ω

cosα=(cosα)^2+(sinα)^2cosω'

cosα=(cosα)^2-(sinα)^2cosω

cosω={(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

cosβ=(cos2α)^2+(sin2α)^2{(cosα)^2-cosα}/(sinα)^2

1-2φ^2(sinα)^2=(cos2α)^2+4(cosα)^2{(cosα)^2-cosα}

1-2φ^2(sinα)^2=8(cosα)^4-4(cosα)^3-4(cosα)^2+1

1-2φ^2{1-(cosα)^2}=8(cosα)^4-4(cosα)^3-4(cosα)^2+1

-2φ^2{1-(cosα)^2}=8(cosα)^4-4(cosα)^3-4(cosα)^2

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は(cosα)に関する4次方程式になる。

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