通常のサイコロ２つを振ったときでる目の合計は，

　　　１　　２　　３　　４　　５　　６

１　　２　　３　　４　　５　　６　　７

２　　３　　４　　５　　６　　７　　８

３　　４　　５　　６　　７　　８　　９

４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

５　　６　　７　　８　　９　　10　　11

６　　７　　８　　９　　10　　11　　12

となって，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２はそれぞれ１，２，３，４，５，６，５，４，３，２，１回現れる．

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偏りのある２つのサイコロがどんなものであっても、これらの出目の確率が等しくなることはあり得ない。

11通りの和２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２それぞれが同じ確率1/11で出るような２つのサイコロがあると仮定すると

36/11が整数でなければならないからである。

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12通りの和１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２それぞれが同じ確率1/12で出るような２つのサイコロがあるだろうか？

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非標準的なサイコロを使うことにすると

A={1,2,3,4,5,6}

B={0,0,0,6,6,6}

の目を割り当てればよい

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　通常のサイコロの母関数は

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

　　　　　　＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

である

　　Ｑ（ｘ）＝１＋ｘ^6

　　Ｐ（ｘ）Ｑ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8＋ｘ^9＋ｘ^10＋ｘ^11＋ｘ^12

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偏りのある２つのサイコロがどんなものであっても、これらの出目の確率が等しくなることはあり得ない。

11通りの和２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２それぞれが同じ確率1/11で出るような２つのサイコロがあると仮定すると

　　Ｐ（ｘ）Ｑ（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8＋ｘ^9＋ｘ^10＋ｘ^11＋ｘ^12

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

　　　　　　＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

（ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8＋ｘ^9＋ｘ^10＋ｘ^11＋ｘ^12）/（ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6）

を計算することになる

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（ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8＋ｘ^9＋ｘ^10＋ｘ^11＋ｘ^12）

＝ｘ^2（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6＋ｘ^7＋ｘ^8＋ｘ^9＋ｘ^10）

＝ｘ^2（ｘ^11-１）（ｘ-１）

　　ｘ^10＋ｘ^9＋ｘ^8＋ｘ^7＋ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

＝Φ2（ｘ）Φ5（ｘ）Φ10（ｘ）

＝（ｘ＋１）（ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^4−ｘ^3＋ｘ^2−ｘ＋１）

　　Ｐ（ｘ）Ｑ（ｘ）＝ｘ^2（ｘ＋１）（ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^4−ｘ^3＋ｘ^2−ｘ＋１）

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一方

　　Ｐ（ｘ）＝ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋ｘ^4＋ｘ^5＋ｘ^6

　　　　　　＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）（ｘ^2−ｘ＋１）

割り切れないことが証明された

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