すべてのｘに対して、f(-x)=-f(x)となる写像fを奇写像という。

単位球面S^nしたがって、奇写像は対蹠点を対蹠点に写すので対蹠写像ともいう。

ボルスクはｎ次元ユークリッド球面に関する定理を証明した

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【１】ボルスクの定理

　ボルスクは連続対蹠写像S^n→S^nの写像度は奇数であり、とくに0にホモトピックでないことを証明した。

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このことから

(1)連続対蹠写像S^n→S^n-1は存在しない

ことが分かり、(1)は(2)(3)(4)と同値であることが示される。

(2)すべての連続写像S^n→R^nは少なくとも１対の対蹠点を同じ点に移す（ボルスク・ウラムの定理）

(3)すべての連続奇写像S^n→R^nは少なくとも1点（したがって少なくとも1対の対蹠点）をR^nの原点に写す

(4)S^nを覆うn+1個の閉集合のすべての族において、その集合の一つは対蹠点の対を含む（ラスターニク・シュニレルマン・ボルスクの定理）

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(4)S^nを覆うn+1個の閉集合のすべての族において、その集合の一つは対蹠点の対を含む（ラスターニク・シュニレルマン・ボルスクの定理）

の拡張として

(5)S^n＜R^n+1が開集合（閉集合）であるｎ+1個の集合でおおわれるならば、その集合の一つは対蹠点の対、xと-xを含む

(6)0＜d＜2、F1、F2,・・・、Fn+1をｎ次元球面S^nを覆う閉集合とする。このとき、距離ｄの２点を含むＦiが存在する

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