正五角形の作図には半径の２等分点が，正１７角形の作図には４等分点が使われているそうです→コラム「正多角形の近似作図問題」参照．ラングレーの問題『四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＡＢＤ＝２０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝６０°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５０°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝３０°＝ｄのとき，∠ＡＤＢ＝ｅの大きさを求めよ．』

　一方，ラングレーの問題は正１８角形の対角線の交点と関係しています→コラム「ラングレーの問題」参照．正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけです．

正１８角形の対角線の交点数は１８３７（２重点１５１２個，３重点２１６個，４重点５４個，５重点５４個）．ｎ＝１８の場合は５重点が中心以外での多重度最大の交点で，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．また，正１８角形をすべての対角線で分断したときの断片数は２４６６にもなります．それでは，正１７角形の対角線の交点数や断片数は正１８角形より多いでしょうか？

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【１】正ｎ角形の対角線の交点数は？

　正ｎ角形の対角線に多重交点がなければＩ＝nＣ4となります．ｎが奇数の場合は多重交点がないのでこれが正解ですが，ｎが偶数のときは中心では必ずｎ／２本の対角線が交わります．

　また，ｎが６以上の偶数の場合は必ず多重交点が存在します．多重度は最大でも７を超えないことが確認されていて，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．

　この後は代数的な議論に加え，煩雑な場合分けと例外処理が必要となります．ここで，関数

　　δm（ｎ）＝１　　（ｎはｍの倍数）

　　δm（ｎ）＝０　　（それ以外）

を用います．すなわち，ｎがｍの倍数ならば１，それ以外ならば０となる関数です．

　正ｎ角形の対角線の交点数の公式には，

　　ｍ＝２，４，６，１２，１８，２４，３０，４２，６０，８４，９０，１２０，２１０

が出現し，次のようなものになります．正２１０角形になって初めて現れる例外処置が存在するのです．

　　Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）

　たとえば，

　　Ｉ（６）＝１３

　　Ｉ（１２）＝３０１

　　Ｉ（１８）＝１８３７

　　Ｉ（１８０）＝４０８４１４６１

　また，正ｎ角形をすべての対角線で分断したときの断片数は，

　　Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）

　　Ｒ（６）＝２４

　　Ｒ（１２）＝４４４

　　Ｒ（１８）＝２４６６

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【２】計算結果

　コラム「正多角形の対角線の交点数（その２）」に掲げたものから抜粋して，ｎ＝４〜２４における交点数Ｉと断片数Ｒの計算結果を表示する．計算自体は簡単で，Ｉ＜Ｒが成り立つこともわかるだろう．

　最初にＩ＞２０１０，Ｒ＞２０１０となるのは正１７角形である．Ｉ17，Ｒ17ともに１０の倍数で，（そんな馬鹿なと思われるかもしれないが）交点数，断片数とも正１７角形の方が多いのである（Ｉ17＞Ｉ18，Ｒ17＞Ｒ18）．

ｎ　　　　　　Ｉ　　　　　　Ｒ

4 1 4

5 5 11

6 13 24

7 35 50

8 49 80

9 126 154

10 161 220

11 330 375

12 301 444

13 715 781

14 757 952

15 1365 1456

16 1377 1696

17 2380 2500

18 1837 2466

19 3876 4029

20 3841 4500

21 5985 6175

22 5941 6820

23 8855 9086

24 7297 9024

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【１】レイトン・アイタイ・フバタル・ニューボーン・セメレディの定理

ｎ個の頂点とｍ＞5ｎ本の辺をもつグラフをどのように描いても、交差する辺が

4m^3/243n^2>m^3/(8n)^2対よりも多く含まれる。

平面上のｎ個この点とｍ本の直線の接続はたかだか

2(2nm)^(2/3)+m対である。

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【２】セーケイの定理

平面上にｎ＞8個の点があたえられたとき、単位距離になるのはたかだか4ｎ^(4/3)個である。

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