[1]単位正方形に含まれる三角形の最大面積は1/2であり、単位正方形を含む三角形の最小面積は2である。

[2]面積１のすべての凸多角形は、面積2の長方形に含まれる。

[3]直径が1の平面領域は、すべて幅が１すなわち辺長√3/3の正六角形に含まれる

[4]直径が1の平面領域は、すべて直径がたかだか√3/2の3つの集合に分割できる。

[5]ｄ次元の直径１の立体Kは半径(d/(2d+2))^1/2の球体に含まれる

[6]Kは直径が１より小さい2^(d-1)+1個の集合に分割できる。

[7]辺長2の正方形に重なり合わずに接することのできる半径１の円板はたかだかだ6個である。

[8]単位正方形に重なり合わずに接することのできる単位正方形はたかだかだ8個である。

[9]三角形にはそれと合同な12個の三角形が接することができる。

[10]すべての総面積1の正方形の集合は面積2の正方形に詰め込むことができる。

[11]平面上にｎ＞8個の点が与えられたとき、単位距離になるのはたかだか4ｎ^4/3個である。

[12]ｎ次元空間にはたかだか2^(n+1)個の隣接するｎ次元単体がある。

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【１】メルゲリアン・ウェスラーの定理

P=(D1,D2,・・・)をどの２つも共通部分をもたない開円板の無限列で、単位円Dがこれらによってほとんど至る所おおわれるとする。

rnをDnの半径とするとΣrn=∞である。

Mx(P)=Σrn^xとおく。

どんなPに対しても数e(P)が存在し、x＜e(P)ならMx(P)は発散し、x＞e(P)ならMx(P)は収束する。

1＜e(P)＜2である。

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この下限の改良値1.306951・・・である。

これは円板Dnでおおわれない点の集合のフラクタル次元であると解釈することができる

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