【１】カーン・カライの定理

集合K＜R^nの直径が1ならば、Kは直径が１より小さいk(n)個の集合の和集合である。

ｎが十分大きければ、k(n)＞c^(√n)

カーン・カライの定理はボルスク予想の反例である。

1933年、ボルスクはR^nの直径が1のすべての集合は直径が１よりも小さいn+1個の集合の和集合かという問題を提示した。

1980年代にエルデシュとラーマンはボルスク予想が誤りで可能性を取り上げた。

カーンとカライは驚くほど単純な反例を示したときには、多くの数学者を驚かせた。

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素数ｐに対してn=2p(4p-1)のとき

k(n)＞1/2(4p,2p)/2(4p-1,p-1)＞1/32・2^4p/4^p(4/3)^3p＞1/32(27/16)^p＞(1.203)^(√n)＞(1.2)^(√n)

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k(n)＞(4p,2p)/2(4p,p)より、n=1325,n＞2014のとき、ボルスク予想は誤りであることが分かる。

ニリはn=946,ライゴヅキーはn=561,ワイスバッハはn=560,ヒンリクスはn=323,リヒターはn=298の反例を示した。

ヒンリクスはn=323の反例を示すのにリーチ格子における長さが最小のベクトルと用いた

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