[1]単位正方形に含まれる三角形の最大面積は1/2であり、単位正方形を含む三角形の最小面積は2である。

[2]面積１のすべての凸多角形は、面積2の長方形に含まれる。

[3]直径が1の平面領域は、すべて幅が１すなわち辺長√3/3の正六角形に含まれる

[4]直径が1の平面領域は、すべて直径がたかだか√3/2の3つの集合に分割できる。

[5]ｄ次元の直径１の立体Kは半径(d/(2d+2))^1/2の球体に含まれる

[6]Kは直径が１より小さい2^(d-1)+1個の集合に分割できる。

[7]辺長2の正方形に重なり合わずに接することのできる半径１の円板はたかだかだ6個である。

[8]単位正方形に重なり合わずに接することのできる単位正方形はたかだかだ8個である。

[9]三角形にはそれと合同な12個の三角形が接することができる。

[10]すべての総面積1の正方形の集合は面積2の正方形に詰め込むことができる。

[11]平面上にｎ＞8個の点が与えられたとき、単位距離になるのはたかだか4ｎ^4/3個である。

[12]ｎ次元空間にはたかだか2^(n+1)個の隣接するｎ次元単体がある。

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１辺の長さ1の正六角形に正方形な内接しているとする。接点を(x,y)とすると

y=-√3(x-1)

y=x

の交点を求めると、x=√3/(√3+1)→NG

正方形が45度傾いているとすると正方形の対角線の長さは√3→OK

[3]直径が1の平面領域は、すべて幅が１すなわち辺長√3/3の正六角形に含まれる

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[5]ｄ次元の直径１の立体Kは半径(d/(2d+2))^1/2の球体に含まれる

[6]Kは直径が１より小さい2^(d-1)+1個の集合に分割できる。

直径１のすべての３次元立体は直径√3の正八面体から3個の頂点を切り落としたものに含まれる

この切頂八面体は直径は１より小さい4個の集合に分解できる

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直径1の集合を１よりも小さい直径をもつ集合に分解するこの問題は、1933年にボルスクによって提出された。

（本来の定式化は、球面S^nを直径が2よりも小さい直径をもつn+1個の集合に分割できないというものであった）

集合の閉包の直径は集合自体の直径と等しいので、R^nの直径が1であるような集合が、直径が1よりも小さいk個の集合の和集合となるような

最小の整数ｋをk(n)と書くと、ボルスクはすべてのｎに対してk(n)=n+1に等しいかどうかを問うた（ｎ次元単体は(k(n)>=n+1であることを示している）

完全にk(n)を決定するには至っていないが、n=1,n=2の場合はｎ+1である。

n=3の場合は1955年にエルグストンがボルスク予想を証明した

直径１のすべての３次元立体は直径√3の正八面体から3個の頂点を切り落としたものに含まれる

この切頂八面体は直径は１より小さい4個の集合に分解できる

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しかし、ボルスクの問題が提出されてから50年後、カライとカーンは意外にも多くのｎに対してk(n)=n+1でないことを証明した。

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実際にはk(n)は指数関数的に増大する。k(n)＜q^n

[5]ｄ次元の直径１の立体Kは半径(d/(2d+2))^1/2の球体に含まれる

[6]Kは直径が１より小さい2^(d-1)+1個の集合に分割できる。

直径１のすべての集合は辺長２の立方体に含まれ、辺長２のすべての立方体は辺長が1/√ｎよりも小さい（＝直径が１よりも小q^n個の小立方体に分割できる。

上界2^(d-1)+1は5n√n(4+logn)(3/2)^(n/2)に改善され、さらにｎが十分に大きければ、直径１の任意の集合を覆うのに、直径１の球体は

(3/2+ε)^(n/2)個より多くは必要としない

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【１】カーン・カライの定理

集合K＜R^nの直径が1ならば、Kは直径が１より小さいk(n)個の集合の和集合である。

ｎが十分大きければ、k(n)＞c^(√n)

カーン・カライの定理はボルスク予想の反例である。

1933年、ボルスクはR^nの直径が1のすべての集合は直径が１よりも小さいn+1個の集合の和集合かという問題を提示した。

1980年代にエルデシュとラーマンはボルスク予想が誤りで可能性を取り上げた。

カーンとカライは驚くほど単純な反例を示したときには、多くの数学者を驚かせた。

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