■ボルスクの定理

 すべてのxに対して、f(-x)=-f(x)となる写像fを奇写像という。

単位球面S^nしたがって、奇写像は対蹠点を対蹠点に写すので対蹠写像ともいう。

ボルスクはn次元ユークリッド球面に関する定理を証明した

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【1】ボルスクの定理

 ボルスクは連続対蹠写像S^n→S^nの写像度は奇数であり、とくに0にホモトピックでないことを証明した。

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このことから

(1)連続対蹠写像S^n→S^n-1は存在しない

ことが分かり、(1)は(2)(3)(4)と同値であることが示される。

(2)すべての連続写像S^n→R^nは少なくとも1対の対蹠点を同じ点に移す(ボルスク・ウラムの定理)

(3)すべての連続奇写像S^n→R^nは少なくとも1点(したがって少なくとも1対の対蹠点)をR^nの原点に写す

(4)S^nを覆うn+1個の閉集合のすべての族において、その集合の一つは対蹠点の対を含む(ラスターニク・シュニレルマン・ボルスクの定理)

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