ラングレーの問題は，誰でも一度は取り組み，誰もが一度は悩んだことがある問題と思われます．

　『四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＡＢＤ＝２０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝６０°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５０°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝３０°＝ｄのとき，∠ＡＤＢ＝ｅの大きさを求めよ．』

　出題形式は多少異なるものがあり，四角形でなく二等辺三角形において角度を求めるという形で知っている方も多いと思われますが，どちらも同じ問題になっています．種明かしをすれば，この問題は頂角が２０°の二等辺三角形と関係していて，したがって，正１８角形の対角線の交点と関係しています．

　正１８角形を描いて対角線を引けば，この問題の図が現れるというわけですが，正１８角形の対角線の交点数は１８３７（２重点１５１２個，３重点２１６個，４重点５４個，５重点５４個）．ｎ＝１８の場合は５重点が中心以外での多重度最大の交点で，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．また，正１８角形をすべての対角線で分断したときの断片数は２４６６にもなります．

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　３点Ａ，Ｂ，Ｃの内部に点Ｄがある場合において，すべて整数度の角をもつ整角三角形の問題も一連の「４点角問題」です．

　たとえば，

［Ｑ］三角形ＡＢＣおよびその内部の点Ｄにおいて，∠ＡＢＤ＝３０°＝ａ，∠ＤＢＣ＝４２°＝ｂ，∠ＢＣＡ＝５４°＝ｃ，∠ＡＣＤ＝１８°＝ｄのとき，∠ＢＡＤ＝ｅの大きさを求めよ．

は数学／算数オリンピックの中学生版である「広中杯全国中学校数学大会」で出題された問題だそうです．

　この場合，二等辺三角形の頂角は３６°，底角は７２°ですから，五角形ＡＥＢＣＦが正五角形となるように点Ｅ，Ｆをとれば，正五角形と正三角形を組み合わせた図形を用いて実にスマートな証明が可能となります．

　ｅ＝２４°がその解答ですが，斉藤浩さんのアイディアの賜物が一冊の本

　　［参］斉藤浩「ラングレーの問題にトドメをさす！」現代数学社

として誕生することになったのは，この整角三角形のパラメトリック変形がきっかけとなっているそうです．

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