[1]２のベキ乗からなる集合 ｛2,4,8,16,32,64,128,256,・・・｝の逆数和は

　　１/２+１/４+１/８＋１/１６＋１/３２＋１/６４＋・・・→１

[2]３のベキ乗からなる集合 ｛3,9,27,81,243,729,・・・｝の逆数和は

　　１/３+１/９+１/２７＋１/８１＋１/２４３＋１/７２９＋・・・→１/２

[3]４のベキ乗からなる集合 ｛4,16,64,256,・・・｝の逆数和は

　　１/４+１/１６＋１/６４＋１/２５６４＋・・・→１/３

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【１】ゴールドバッハの公式

　ｘ^y　　（ｘ≧２，ｙ≧２）の形で表される数を完全ベキ乗数と呼ぶことにする．

　　｛ａn｝＝｛１，４，８，９，１６，２５，２７，３２，３６，・・・｝

　　Σ１／（ａn−１）＝１　　（ｎ≧２）

すなわち，

　　１＝１／３＋１／７＋１／８＋１／１５＋１／２６＋１／３１＋１／３５・・・

（証）ゴールドバッハの和は，左辺を等比級数の和に直して

　　 Σｘ^-y＝Σ１／ｘ（ｘ−１）＝Σ｛１／（ｘ−１）−１／ｘ｝

に等しい．右辺＝１

　Σ１／ａnも収束するが，近年には

　　Σ１／（ａn＋１）＝π^2／３−５／２　　（ｎ≧２）

が成り立つことも証明されたという．

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【２】ａnの漸近個数関数

　完全ベキ乗数のなかでは完全平方数が圧倒的に多いので

　　ａn〜ｎ^2

と予想される．

　　ａn＜ｘとなる個数を計算して，個数〜√ｘであればａn〜ｎ^2である．より正確には

　　個数〜［√ｘ］＋［3√ｘ］−［6√ｘ］＋・・・

　　　　〜√ｘ＋Ｏ（3√ｘ・ｌｏｇｘ）

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