■双子素数の桁数(その10)

 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+・・・=∞

(証)

1/3+1/4>1/4+1/4=1/2

1/5+1/6+1/7+1/8>1/8+1/8+1/8+1/8=1/2

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 2項に1項を削除すると

 1/2+1/4+1/6+・・・

=2(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+・・・)=∞

 しかしながら,分母にひとつでも9が現れるものを削除すると

 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16+1/17+1/18+1/20+・・・=有限

  1/1+・・・+1/8<8

  1/10+・・・1/18+1/20+・・・+1/88<8・9/10

  1/100+・・・+1/888<8・9・9/100=8(9/10)^2

  J<8{1+9/10+(9/10)^2+・・・}=8/(1−9/10)=80

 したがって,9をすべて取り除いた調和級数は80より小さい数に収束します.

 また,平方数の逆数の和

 1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/7^2+・・・=有限=π^2/6<2

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