双子素数を10進法で表すと同じ桁数になることを証明せよ。

10進法をｎ進法でで置き換えたとき、この主張が成り立たないｎは何か。

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双子素数をｐとｐ+２とする。ｐ+２はｐより桁数が多いかもしれない。

しかし、そうなるのはｐ=999・・・98かｐ=999・・・99の場合だけである。

ｐ=999・・・98は偶数なので素数にはなりえない。

ｐ=999・・・99は9の場指数なので素数にはなりえない。

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ｎ進法の場合、ｐ=n^k-2かｐ=n^k-1でなければならない。

すなわち、n^k=p+2かn^k=p+1でなければならない。

n^k=p+1

p＝３の場合、n^k=4かn^k=5

１０進法の双子素数3と5は、4進法で3と11になり、これらは相異なる桁数をもつ。

１０進法の双子素数3と5は、5進法でも3と10になり、これらは相異なる桁数をもつ。

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n^k=p+2ならば

n^kが素数であることから

k=1ではｎはp+２に等しく素数である。

n^k=p+1ならば

ｐ＝n^k-1＝(n-1)((n^k-1+n^k-2+・・・+1)

ｐは素数なのでk=1かk=2となる。

k=1ならば双子素数の小さいほうの素数ｐに対してn=p+1

n＝2でｋ＞1ならば２^k-１と２^k+１はともに素数でなければならない。

これが成り立つのは３と５の場合だけである。

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整理すると、ｎ進法で双子素数が相異なる桁数をもつのは、双子素数の小さいほうの素数ｐに対して

n=p+1かn=p+2となるか

またはn=2,p=3のときに限る。

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