非推移的サイコロによる反直感的現象

　　Ａ＝｛３，３，４，４，８，８｝，平均３０／６

　　Ｂ＝｛１，１，５，５，９，９｝，平均３０／６

　　Ｃ＝｛２，２，６，６，７，７｝，平均３０／６

対戦する２人は３つのサイコロからひとつずつ選び，それを振って大きい目がでたほうを勝ちとする．相手がＡを選んだとき，あなたはどのサイコロを選ぶべきであろうか？　

［Ａ］

Ｂ＼Ａ　　３　　４　　８

１　　　　Ａ　　Ａ　　Ａ

５　　　　Ｂ　　Ｂ　　Ａ

９　　　　Ｂ　　Ｂ　　Ｂ

　サイコロＢを選べば勝つ確率は５／９である．

Ｃ＼Ａ　　３　　４　　８

２　　　　Ａ　　Ａ　　Ａ

６　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ａ

７　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ａ

　サイコロＣを選べば勝つ確率は４／９である．

したがって，Ｂを選ぶべきである．

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［Ｑ］相手がＢを選んだとき，あなたはどのサイコロを選ぶべきであろうか？

［Ａ］サイコロＣを選べば勝つ確率は５／９である．したがって，Ｃを選ぶべきである．

［Ｑ］相手がＣを選んだとき，あなたはどのサイコロを選ぶべきであろうか？

［Ａ］サイコロＡを選べば勝つ確率は５／９である．したがって，Ａを選ぶべきである．

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［まとめ］ＡはＣに，ＢはＡに，ＣはＢに，それぞれ５／９の確率で勝つから，相手がＡを選んだらＢを，Ｂを選んだらＣを，Ｃを選んだらＡを選べばよい．

　エフロンのサイコロは，

　　Ａ＞Ｃ，Ｂ＞Ａ

が成り立つ．そうすると当然ＢはＣに勝つといえるか？　いやそうではない。

ＢはＣに５／９の確率で勝つので、Ｂ＞Ｃは成り立たない．

Ｃ＼Ａ　　３　　４　　８

２　　　　Ａ　　Ａ　　Ａ

６　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ａ

７　　　　Ｃ　　Ｃ　　Ａ

実際にＣ＞Ｂとなり，３スクミ．

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ＡはＣに，ＢはＡに，ＣはＢに，それぞれ５／９の確率で勝つ

この３つのサイコロは魔方陣になっている

８，１，６

３，５，７

４，９，２

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また、このそれぞれの行のサイコロ

　　Ａ＝｛８，８，１，１，６，６｝，平均３０／６

　　Ｂ＝｛３，３，５，５，７，７｝，平均３０／６

　　Ｃ＝｛４、４，９，９，２，２｝，平均３０／６

には興味深い双対性もあり、

ＡはＢに，ＢはＣに，ＣはＡに，それぞれ５／９の確率で勝つ（非推移的）

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