すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．

　そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

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【１】デルタ１２面体の設計

　デルタ１２面体とは１２枚の正三角形からなる双子の正十二面体とも呼ばれる多面体である．まず，コラム「変形するデルタ２０面体に対する疑義」を参考にしてデルタ１２面体を設計してみることにする．

　ここでは，１辺の長さを１とする重三角錐（デルタ６面体）の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，

　　１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ６０°＝√３

より

　　ｈ＝√（８／３）＝１．６３２９９

となった．

　重三角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重三角錐が得られる．一方の開口重三角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））　　　ｈ：０〜１．６３２９９

である．ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみると，

　　ｘ＝１．２８９１７

が近似解となる．

　開口重三角錐２個，すなわち，合同な４面体６個の組み合わせでデルタ１２面体ができあがる．

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【２】デルタ１２面体（Ｎ84）

　８個の頂点と１２枚の正三角形からなる分解不可能なザルガラー多面体で，双子の正十二面体とも呼ばれるデルタ多面体である．

　四面体を６個を組み合わせることにしたのだが，意外なことが判明した．６個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．写真中央が７個目の四面体である（６＋１）．

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デルタ１２面体の設計では，合同な４面体６個の組み合わせでデルタ１２面体ができあがるように設計したつもりであった．いざ作ってみると，予想外のことが起こった．６個の表面は繋がるのだが，あいだに空洞ができてしまうのである．写真中央が第７の四面体である（６＋１）．

　第７の四面体で空洞を埋めると，デルタ１２面体ができあがる．

　今回のコラムでは第７番目の四面体の計量を行ってみたい．短い辺（ｓ）の長さを１とすると，長い辺（ｌ）の長さは１．２８９１７９になる．また，６個の四面体は５ｓ１ｌで構成されるが，第７の四面体は４ｓ２ｌである．

　６個の四面体は長い辺に短い辺が，第７の四面体は長い辺に長い辺が対向して直交する四面体であるが，それぞれの二面角は，

　　　　　　　　　　　　　６個の四面体　　　第７の四面体

長い辺周りの二面角　　　　81.6869　　　　　　114.939

対向する辺周りの二面角　　96.1984　　　　　　114.939

その他の二面角　　　　　　60.8716　　　　　　44.6975

となる．

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