■二面角の計算(その14)

【1】ヒーウッドの公式

 オイラーの公式は単純ですが,要はその使い方というわけで,たとえば,多面体には3角形か4角形面か5角形面が少なくとも1つなければならないことはもっと簡単に証明できます.

 どの領域も少なくとも6つの領域で囲まれていると仮定すると

  6f≦2e

また,このような問題を解くにあたっては,すべての交点で3本の境界線が会している地図だけを考えればよいので,

  3v≦2e

 これらをオイラーの公式に代入すると

  v−e+f≦1/3e−e+2/3e=0≠2

となって矛盾を生じます.したがって,5個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります.

 平面や球面上に描かれた地図に関するオイラーの公式は

  v−e+f=2

でしたが,トーラス上の地図に関するオイラーの公式は

  v−e+f=0

です.

 トーラスでは6個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることを証明するために,どの領域も少なくとも7つの領域で囲まれていると仮定すると

  7f≦2e

また,3v≦2eですから

  v−e+f≦2/7e−e+2/3e=−1/21e≠0

という矛盾を引き出すことができます.

 したがって,トーラスでは6個以下の隣接領域しかもたない領域が少なくともひとつあることになります.このことを利用すると,

  「トーラス上のどんな地図でも7色で塗り分けられる」

ことが証明されます.ヒーウッドは実際に7色を必要とする例もあげています.

 これを証明したヒーウッドはさらにg個の穴があいたトーラス上の地図に関するオイラーの公式

  v−e+f=2−2g

を利用して

(1)2個の穴があいているトーラス上の地図はどれも8色で塗り分けられる

(2)3個の穴があいているトーラス上の地図はどれも9色で塗り分けられる

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

(3)10個の穴があいているトーラス上の地図はどれも14色で塗り分けられる

に引き続いて,

(4)g個の穴があいているトーラス上の地図はどれもH(g)色で塗り分けられる

  H(g)=[{7+√(1+48g)}/2]

を証明しました.

 [・]はガウス記号で,

  g:1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10

  H:7,8,9,10,11,12,12,13,13,14

となるのですが,しかし,ヒーウッドはg≧2に対してそのような地図が実在することを示すことはできませんでした.そのため,この問題は「ヒーウッド予想」と呼ばれることになりました.

 1968年,リンゲルとヤングスは,g個の穴のあいているトーラス上にこれだけの色を必要とする地図が存在することを証明したのですが,ヒーウッド予想(1890年)が最終的に証明されるまでには77年もの歳月が必要だったというわけです.

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【2】四色問題

 平面上の四色問題では,地図が平面ではなく球面上に描かれているものとすると,外部領域は他の領域と何の違いもないことになります.したがって,外部領域を塗っても塗らなくても構わないことになり,平面上の四色問題は球面上の四色問題と等価と考えることができます.

 ヒーウッドは五色定理を鮮やかに証明できても,四色定理を証明することはできませんでした.したがって,平面・球面上の四色問題よりも先に,トーラス上の地図の塗り分けには7色必要であることが証明されたことになります.

 ヒーウッドの式はgが正の数の場合にしか適用できないのですが,仮にg=0を代入するとH(0)=4となって,穴のあいていないトーラスすなわち球の表面に置かれた地図を塗り分けるために必要な色の数を正しく導き出すことができます.しかし,残念ながらこれは偶然の一致であり,ヒーウッド予想の証明から四色定理を導くことはできません.

 大きい種数gに対するヒーウッドの公式は四色問題が証明されるよりもかなり前に証明されているのですが,種数0の場合,つまり平面的集合の場合が最も難しいという事実は注目すべき事です.

 四色問題の証明では,地図を電気回路とみなして

  4f2+3f3+2f4+f5−f7−2f8−3f9−・・・=12

の条件の下の放電(電荷の移動)に帰着させる(放電法)のですが,この手続きにはどうしてもコンピュータが必要になりました.アペルとハーケンの後も放電法の改良が続けられ,1994年,ロバートソン,サンダース,シーモア,トーマスの4人が新たな1章をつけ加えました.

 アッペルとハーケンの見つけた1482の配置と487の放電規則よりもはるかに単純となって,633の配置と32の放電規則を使って証明しました.しかし,これとて基本的にはアペル,ハーケンと同じコンピュータ路線なのです.確かにコンピュータを使った証明を美しいあるいはエレガントな数学と呼ぶことはできないかもしれません.コンピュータを使わない証明にはこれまでにないようなまったく新しいアイディアが必要になると思われるのですが,そうしたアイディアは今日もなお登場していないのです.

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