X=1+2cos(2π/7)

7(X^2-X+1)/(X^2+X+2)^2=1/(2cos(π/7))^2

半角公式を使えばいったん次数は下がると思われる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

7(X^2-X+1)/(X^2+X+2)^2=1/2(1+cos(2π/7))

7(X^2-X+1)/(X^2+X+2)^2=1/2(1+(X-1)/2)

7(X^2-X+1)/(X^2+X+2)^2=1/(1+X)

7(X+1)(X^2-X+1)=(X^2+X+2)^2

cos(2π/9)の場合も右辺は同じ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=X-1=2cos(2π/7)とおく.

x=y+1

7(y+2)((y^2+2y+1)-(y+1)+1))=((y+1)^2+(y+1)+2)^2

7(y+2)(y^2+y+1)=(y^2+3y+4)^2

7(y^3+y^2+y+2y^2+2y+2)=(y^4+9y^2+16+6y^3+24y+8y^2)

7(y^3+3y^2+3y+2)=(y^4+6y^3+17y^2+24y+16)

(y^4-y^3-4y^2+3y+2)=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　θ＝2π／9，9θ＝2πより，

　　ｃｏｓ（4θ＋5θ）＝１

　　ｃｏｓ（4θ）＝ｃｏｓ（5θ）

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ−１＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１

　　ｃｏｓ（5θ）＝16ｃｏｓ^5θ−20ｃｏｓ^3θ＋5cosθ

　したがって，ｃｏｓ2π／9を解とする方程式は

　　8ｘ^4−8ｘ＾2+1＝16ｘ^5-20ｘ^3+5ｘ

　　16ｘ^5-8ｘ^4−20ｘ^3+8ｘ^2＋5x-１＝０

　　16ｘ^5-8ｘ^4−20ｘ^3+8ｘ^2＋5x-１＝０

(x-1)(16x^4+8x^3-12x^2-4x+1)=0

y=2ｃｏｓ2π／9を解とする方程式は

　　y^5/2-y^4/2−5y^3/2+2y^2＋5y/2-１＝０

　　y^5-y^4−5y^3+4y^2＋5y-2＝０

(16x^4+8x^3-12x^2-4x+1)=0

y^4+y^3-3y^2-2y+1=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｃｏｓ（2θ）＝ｃｏｓ（3θ）としても次数が合わない

x=ｃｏｓ2π／8=1/√2を解とする方程式は

　　2ｘ＾2-1＝0

y=2ｃｏｓ2π／8を解とする方程式は

　　y^2/2-1=０

y^2-2=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(X-1)/2=cos(2π/8)

x0=0, x1=1, x2=X

x3=X(x2-x1)+x0=X^2-X

x4=X(x3-x2)+x1=X^3-2X^2+1=X^2-X　

x5=X(x4-x3)+x2=X^4-3X^3+X^2+2X=X

x6=1 x7=0,x8=0

Σxi=2X^2+2　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

f(x)/(2X^2+2)^2=1/(1+X)

(X+1)f(x)=(2X^2+2)^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=y+1

(y+2)f(y)=(2(y+1)^2+2)^2=(2y^2+4y+4)^2=4y^4+16y^2+16+16y^3+32y+16y^2

(y+2)f(y)=(2(y+1)^2+2)^2=(2y^2+4y+4)^2=4y^4+16y^3+32y^2+32y+16

4y^4+16y^3+32y^2+32y+16-(y+2)f(y)＝０

これが

y^2-2=0,y^4-4y^2+4=0,4y^4-16y^2+16=0

に等しい。

16y^3+48y^2+32y-(y+2)f(y)＝０

(y+2)(16y^2+16y)=0

16(y+2)(y^2+y)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y=x-1

16(x+1)(x^2-2x+1+x+1)

16(x+1)(x^2-x+2)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

16(x^2-x2)/(2x^2+2)^2=1/(X+1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝