ｚ＝ｃｏｓπ／７＋ｉｓｉｎπ／７＝

　ｚ＝ｃｏｓ２π／１４＋ｉｓｉｎ２π／１４

を解とする方程式は

　　ｚ^14＝１

　　ｚ^13＋ｚ^12・・・・＋ｚ＋１＝０

であるが，ｃｏｓπ／７を解とする方程式を考えてみよう．

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　　θ＝π／７，７θ＝πより，

　　ｃｏｓ（３θ＋４θ）＝−１

　　ｃｏｓ（３θ）＝−ｃｏｓ（４θ）

　３倍角の公式は

　　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

４倍角の公式を知らなければ，倍角の公式を２回適用して

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ−１＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１

　したがって，ｃｏｓπ／７を解とする方程式は

　　４ｘ^3−３ｘ＝−８ｘ^4＋８ｘ^2−１

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

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　実は，この方程式はｃｏｓπ／７のみならず，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７，ｃｏｓ７π／７＝ｃｏｓπ＝−１も解となる．

　したがって，

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

　　（ｘ＋１）（８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１）＝０

と因数分解できる．

　ｃｏｓπ／７，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７は，

　　８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０

の３根となる．

　根と係数の関係より

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝４／８＝１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＝−１／８

が示される．

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このように見えない関係式に縛られているのだと思われる。

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cos(7t)=-1=64(cost)^7-112(cost)^5+56(cost)^3-7(cost)

cos(6t)=-cost=32(cost)^6-48(cost)^4+18(cost)^2-1

cos(5t)=-cos2t=-2(cost)^2+1=16(cost)^5-20(cost)^3+5(cost)

cos(4t)=-cos3t=-4(cost)^3+3cost=8(cost)^4-8(cost)^2+1

のほかにも

cos(8t)=-cost=128(cost)^8-256(cost)^6+160(cost)^4-32(cost)^2+1

などがある。

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y=2costとおくと、

y^8/2-4y^6+10y^4-8y^2+1=-y/2

y^7/2-7y^5/2+7y^3-7y/2=-1

y^6/2-3y^4+9y^2/2-1=-y/2

y^5/2-5y^3/2+5y/2=-y^2/2+1

y^4/2-2y^2+1=-y^3/2+3y/2

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y^8=・・・、y^7=・・・、y^4=・・・の形に整理する

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