n=6の場合について、確認しておきたい。

7(X^2-X+1)/(X^2+X+2)^2=1/Y^2は数値計算上成り立っている。

しかし、・・・

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cos(2π/7)=2(cos(π/7)^2-1

X=2cos(2π/7)+1=(2cos(π/7)^2-1=Y^2-1

X^2+X+2=(Y^2-1)^2+(Y^2-1)+2=Y^4-Y^2+2

X^2-X+1=(Y^2-1)^2-(Y^2-1)+1=Y^4-3Y^2+3

(X^2+X+2)^2=(Y^4-Y^2+2)^2=Y^8+Y^4+4-2Y^6-4Y^2+4Y^4

=Y^8-2Y^6+5Y^4-4Y^2+4

cos7t=cost{64(cost)^6-112(cost)^4+56(cost)^2-7}

=(Y/2){Y^6-7Y^4+14Y^2-7}=-1

{Y^8-7Y^6+14Y^4-7Y^2}=-2Y

(X^2+X+2)^2=Y^8-2Y^6+5Y^4-4Y^2+4=7Y^6-14Y^4+7Y^2-2Y-2Y^6+5Y^4-4Y^2+4

=5Y^6-9Y^4+3Y^2-2Y+4

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7Y^2(Y^4-3Y^2+3)=5Y^6-9Y^4+3Y^2-2Y+4になればよい。

2Y^6-12Y^4+18Y^2+2Y-4=0になればよい・・・OK

しかし、直接式変形で示すのは難しそうである

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ｃｏｓπ／７は８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の根であるから

Y＝2ｃｏｓπ／７はｙ^3−ｙ^2−２ｙ＋１＝０の根である。

Y^4=Y^3+2Y^2-Y

X^2+X+2=(Y^2-1)^2+(Y^2-1)+2=Y^4-Y^2+2=Y^3+Y^2-Y+2

X^2-X+1=(Y^2-1)^2-(Y^2-1)+1=Y^4-3Y^2+3=Y^3-Y^2-Y+3

Y^3=Y^2+2Y-1

X^2+X+2=Y^3+Y^2-Y+2=2Y^2+Y+1

X^2-X+1=Y^3-Y^2-Y+3=Y+2

(X^2+X+2)^2=(2Y^2+Y+1)^2=4Y^4+Y^2+1+4Y^3+2Y+4Y^2=4Y^4+4Y^3+5Y^2+2Y+1

(X^2+X+2)^2=4Y^4+4Y^3+5Y^2+2Y+1=4Y^3+8Y^2-4Y+4Y^3+5Y^2+2Y+1=8Y^3+13Y^2-2Y+1

(X^2+X+2)^2=8Y^3+13Y^2-2Y+1=8Y^2+16Y-8+13Y^2-2Y+1=21Y^2+14Y-7=7(Y+1)(3Y-1)

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7(Y+2)/7(Y+1)(3Y-1)=(Y+2)/(Y+1)(3Y-1)

数値的に

(Y+2)/(Y+1)(3Y-1)=1/Y^2を示すことができる

Y^3+2Y^2=3Y^2+2Y-1

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