来月のグラフ学会に演題を出しました。例えば、

[Q]正四面体の各面に1点ずつ点を配置して正方形を作ることができるか？

可能か？

可能だとすればどのように配置すればよいのか？

[Q]ｎ次元の正単体のファセットに1点ずつ点を配置して正n+1角形を作ることができるか？

可能だとすればどのように配置すればよいののか？

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[A]2組の対辺に平行でちょうど中点を通る平面で切ると残りの辺の中点を結ぶ正方形ができ上がります．

この正方形は頂点が辺上にありますが，辺上を回転しながら少し小さくすると無限個の正方形ができ上がりますね．

他にもありそうに思えますが...

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正解は無限個の正方形を構成することができるです。。

しかし、4次元では3次元のこの切り方に相当するcongruent bisectionはありません。

Hypercube, cross polytopeでは頂点を通らない超平面での切り口が準正多面体になるのですが、

regular simplexの場合、3次元を除いて、準正多面体になりません。

にもかかわらず、4次元では正五角形を、5次元では正六角形を構成することができます。

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