α=π/(N+1)とおくと

求めたいのはr=N-1とおいて、

4sinxsin2xΣTn=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}/sinx

ここで、x=π/(N+1)であるから

sin2Nx=sin(2(N+1)-2)x=-sin2x

{(N)sin2x-sin2Nx}=(n+1)sin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}/sinx4sinxsin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x=(n+1)sin2x/sinx4sinxsin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x=(n+1)/(2sinx)^2

Ti=sin(i+1)αsiniα/sinαsin2α

Ti/ΣTn=4sinαsin(i+1)αsiniα/sin2α

Ti/ΣTn=2sin(i+1)αsiniα/(n+1)cosα

Ti/ΣTn=-{cos(2i+1)α-cosα}/(n+1)cosα

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検してみる

n=5,i=1

Ti/ΣTn=-{cos3α-cosα}/6cosα

Ti/ΣTn=-{4(cosα)^2-4}/6

Ti/ΣTn=-{3-4}/6

Ti/ΣTn=1/6・・・OK

n=6,i=2

Ti/ΣTn=-{cos5α-cosα}/6cosα

Ti/ΣTn=-{16(cosα)^4-20(cosα)^2+4}/6

Ti/ΣTn=-{9-15+4}/6

Ti/ΣTn=-{-2}/6

Ti/ΣTn=1/3・・・OK

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Ti=sin(i+1)αsiniα/sinαsin2α＝-1/2{cos(2i+1)α-cosα}/2(sinα)^2cosα

Ti=sin(i+1)αsiniα/sinαsin2α＝-{cos(2i+1)α-cosα}/(2sinα)^2cosα

i=1のとき

T1=-{cos3α-cosα}/(2sinα)^2cosα

T1=-{4(cosα)^2-4}/(2sinα)^2=1

i=2のとき

T2=-{cos5α-cosα}/(2sinα)^2cosα

＝-{16(cosα)^4-20(cosα)^2+4}/(2sinα)^2

＝-{4(cosα)^4-5(cosα)^2+1}/(sinα)^2

=(4(cosα)^2-1)=2cos(2α)+1=X

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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