■正多面体の正多角形断面(その318)

α=π/(N+1)とおくと

求めたいのはr=N-1とおいて、

4sinxsin2xΣTn=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}/sinx

ここで、x=π/(N+1)であるから

sin2Nx=sin(2(N+1)-2)x=-sin2x

{(N)sin2x-sin2Nx}=(n+1)sin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x={(N)sin2x-sin2Nx}/sinx4sinxsin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x=(n+1)sin2x/sinx4sinxsin2x

ΣTn=Σsinrxsin(r+1)x=(n+1)/(2sinx)^2

Ti=sin(i+1)αsiniα/sinαsin2α

Ti/ΣTn=4sinαsin(i+1)αsiniα/sin2α

Ti/ΣTn=2sin(i+1)αsiniα/(n+1)cosα

Ti/ΣTn=-{cos(2i+1)α-cosα}/(n+1)cosα

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検してみる

n=3,i=1

Ti/ΣTn=-{cos3α-cosα}/4cosα

Ti/ΣTn=-{4(cosα)^2-4}/4

Ti/ΣTn=-{2-4}/4

Ti/ΣTn=1/2・・・OK

n=3,i=2

Ti/ΣTn=-{cos5α-cosα}/4cosα

Ti/ΣTn=-{16(cosα)^4-20(cosα)^2+4}/4

Ti/ΣTn=-{9-15+4}/4

Ti/ΣTn=-{-2}/4

Ti/ΣTn=1/2・・・OK

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  φ^-4=−3φ+5、 √5φ^-4=7φ−11

  φ^-3=2φ−3、 √5φ^-3=-4φ+7

  φ^-2=−φ+2、 √5φ^-2=3φ−4

  φ^-1=φ−1、 √5φ^-1=−φ+3

  φ^0=1、 √5φ^0=2φ−1

  φ^1=φ、 √5φ^1=φ+2

  φ^2=φ+1、 √5φ^2=3φ+1

  φ^3=2φ+1、 √5φ^3=4φ+3

  φ^4=3φ+2、 √5φ^4=7φ+4

  φ^5=5φ+3、 √5φ^5=11φ+7

  φ^6=8φ+5、 √5φ^6=18φ+11

 右辺mφ+nの係数m,nはフィボナッチ数列をなす.

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