球面五角形の辺の長さをαとする。

a=(tanα)^2とおくと、1+a=a^2, a=(1+√5)/2=φ

tanα=√τ

cosα=1/τ

これがどのようにして求められたものなのか考える。

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

正五角形の辺に対する中心角α度と対角線に対する中心角β

それらのなす角ωを求めたい。

　　sin(α/2)=a

　　ｓｉｎ（β／２）＝aφ=φsin(α/2)

より，

　　β＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(α/2)）=arccos｛1-2(φsin(α/2))^2}

二等辺三角形について

cosβ=(cosα)^2+sin(α）^2cosω

ここで、

ω=π-α

cosβ=(cosα)^2-sin(α）^2cosα

1-φ^2(1-cosα)=(cosα)^2-（１−(cosα）^2)cosα=(cosα)^2-cosα+(cosα）^3

(cosα)に関する３次方程式となったが、n=5の場合は

cosα=1/τを代入すると

左辺=1-τ^2(1-1/τ)＝1-τ^2+τ=0

右辺=1/τ^2-1/τ+1/τ^3=−φ＋２-φ+１+ ２φ−３=0

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これを一般化すると

φ⇒2cos(π/n)

にすればいいのであるが、いずれにせよこの方程式は既約3次方程式になることから、定規とコンパスで作図可能でないことが理解される。

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x=cosαとおくと,0＜x＜1

x^3+x^2-x-1=-x(2cosπ/n)^2

=(x-1)(x^2+x+1)+x(x-1)

=(x-1)(x+1)^2=-x(2cosπ/n)^2

=(1/x-1)(x+1)^2=(2cosπ/n)^2

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双曲線と放物線の積

これで関数の概形がわかった。

双曲線は[0,1]で減少関数[∞,0]

放物線は[0,1]で増加関数[1,4]

f(x)=(1/x-1)(x+1)^2

f'(x)=(-1/x^2)(x+1)^2+(1/x-1)2(x+1)

f'(x)=(-1/x^2)(x+1)^2+(1/x-1)2(x+1)

f'(x)=(-1/x^2)(x+1)^2+2(1-x)(x+1)/x

f'(x)=(-1/x^2)(x+1)^2-2(x^2-1)/x

f'(x)=(-1/x^2)(x+1)^2-2x(x^2-1)/x^2

f'(x)=(-1/x^2){(x+1)^2+x(x^2-1)}

f'(x)=(-1/x^2){x^3+x^2+x+1)}<0・・・減少関数

右辺はｎが大きくなるにつれて大きくなるから、xは減少することになる。

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