黄金比が現れる問題をもう一題。五輪恭一先生から教わった問題です。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

「今日，8.11三春寺子屋の準備をはじめました．会場の神社算額の中の一問を調べていて，思いつきました．ちょっとした発見でしょうか．図のような位置に重心が来るのは，小円径：大円径＝１：τ」　　　（五輪　教一）

［１］左図において，大円の半径を１，小円の半径をｒ（０＜ｒ＜１／２）とおく．

小円の中心は（ｒ−１，０）

くり抜かれたあとに残る月形の重心を（ｘ，０）として，釣り合いの問題に帰着させると

　　ｒ^2（１−ｒ）＝（１−ｒ^2）ｘ

　　ｒ^2＝（１＋ｒ）ｘ

ｘ＝ｒ^2／（１＋ｒ）

［２］右図において（１／２＜ｒ＜１）

　　ｘ＝２ｒ−１

［３］ｒ^2＝（１＋ｒ）ｘに代入すると

　ｒ^2＝（１＋ｒ）（２ｒ−１）＝２ｒ^2＋ｒ−１

　ｒ^2＋ｒ−１＝０

　ｒ＝（−１＋√５）／２→小円径：大円径＝ｒ：１＝１：τ

　なお，

ｘ＝ｒ^2／（１＋ｒ）＝１／τ^3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝