■大円弧多面体(その23)

 要請されているのは微分を使わない解法である.微分なしに済ませられる問題なのだろうか?=相加平均・相乗平均不等式にもちこめる問題なのだろうか?

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 三角形の3辺の長さをa,b,c,面積を△,外接球,内接球の半径をR,rとすれば,

  abc=4R△,(a+b+c)r=2△

さらに,

  s1=a+b+c,s2=ab+bc+ca,s3=abc

とおくこともである.

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 r=1,b=cのとき,

  ab^2=4R△,(a+2b)=2△

  s1=a+2b,s2=2ab+b^2,s3=ab^2

  ab^2=2R(a+2b)

  a/sinA=2R

  sinA=2sinA/2cosA/2=a{b^2−a^2/4}^1/2/b^2

  ab^2=a(a+2b)/sinA=b^2(a+2b)/{b^2−a^2/4}^1/2

  a=(a+2b)/{b^2−a^2/4}^1/2

  a^2(b^2−a^2/4)=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2

  (a^2−4)b^2−4ab−a^4/4−a^2=0,a>2

 b={2a+{4a^2+(a^2−4)(a^4/4+a^2)}^1/2}/(a^2−4)のとき,

 b={2a+a^3/2}/(a^2−4)=a/2・(a^2+4)/(a^2−4)

のとき,bは最小値をとるわけではない.

 この4次式を描画できるとbの最小値がわかるのであるが,・・・

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